1. Якщо будь-який рядок (стовпець) матриці складається з одних нулів, то її визначник дорівнює 0.
2. Якщо всі елементи якого-небудь рядка (стовпчика) матриці помножити на число # 955 ;, то її визначник множиться на це число # 955 ;.
3. При транспонировании матриці її визначник не змінюється: | А '| = | А |.
4. При перестановці двох рядків (стовпців) матриці її визначник змінює знак на протилежний.
5. Якщо квадратна матриця містить дві однакові рядки (стовпці), то її визначник дорівнює 0.
6. Якщо елементи двох рядків (стовпців) матриці пропорційні, то її визначник дорівнює 0.
7. Сума добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці на алгебраїчні доповнення елементів іншого рядка (стовпця) цієї матриці дорівнює 0.
8. Визначник матриці не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка (стовпця) матриці додати елементи іншого рядка (стовпця), попередньо помножені на одне і те ж число.
9. Сума творів довільних чисел b1. b2. ..., bn на алгебраїчні доповнення елементів будь-якого рядка (стовпця) дорівнює визначнику матриці, отриманої з даної заміною елементів цього рядка (стовпця) на числа b1. b2. ..., bn.
10. Визначник добутку двох квадратних матриць дорівнює добутку їх визначників:
| З | = | А | * | В |, де C = А * В; А та В-матриці n - го порядку.
Назвемо елементарними перетвореннями матриці наступні:
1. Відкидання нульовий рядки (стовпці).
2. Множення всіх елементів рядка (стовпця) матриці на число, не рівне нулю.
3. Зміна порядку рядків (стовпців) матриці.
4. Додаток до кожного елементу одного рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця), помножених на будь-яке число.
5. Транспонування матриці.
Для вирішення і дослідження ряду математичних і прикладних задач важливе значення має поняття рангу матриці.
Визначення. Рангом матриці А називається найвищий порядок відмінних від нуля мінорів цієї матриці.
Ранг матриці А позначається rang А чи r (А).
Властивості рангу матриці:
1 0. Ранг матриці А не перевищує меншого з її розмірів, тобто
rang A ≤ min (m; n);
2 0. г (А) = 0 тоді і тільки тоді, коли всі елементи матриці дорівнюють нулю, тобто А = 0;
3 0. Для квадратної матриці n-го порядку r (A) = n тоді і тільки тоді, коли матриця А - невироджена.
Квадратна матриця А називається невироджених, або неособенной. якщо її визначник відмінний від нуля, і вироджених, або особливою. якщо # 916; = 0.
Теорема. Ранг матриці не змінюється при елементарних перетвореннях матриці.
Отже, першим методом знаходження рангу матриці є метод перебору миноров. Цей спосіб заснований на визначенні рангу матриці.
Нехай нам потрібно знайти ранг матриці А порядку.
Коротенько опишемо алгоритм вирішення цієї задачі способом перебору миноров.
Якщо є хоча б один елемент матриці, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює одиниці (так як є мінор першого порядку, що не рівний нулю).
Далі перебираємо мінори другого порядку. Якщо все мінори другого порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює одиниці. Якщо існує хоча б один ненульовий мінор другого порядку, то переходимо до перебору миноров третього порядку, а ранг матриці як мінімум дорівнює двом.
Аналогічно, якщо все мінори третього порядку дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює двом. Якщо існує хоча б один мінор третього порядку, відмінний від нуля, то ранг матриці як мінімум дорівнює трьом, а ми переступаємо до перебору миноров четвертого порядку.
Знайдіть ранг матриці.
Так як матриця ненульова, то її ранг не менш одиниці.
Мінор другого порядку відмінний від нуля, отже, ранг матриці А чи не менше двох. Переходимо до перебору миноров третього порядку. Всього їх штук.
Все мінори третього порядку дорівнюють нулю. Тому, ранг матриці дорівнює двом.