транскрипт
1 Московський державний технічний університет імені Н.Е. Баумана Калузький філія І.М. Радченко Знаходження СЕРЕДНІХ ЗНАЧЕНЬ ФІЗИЧНИХ ВЕЛИЧИН Методичні вказівки до проведення семінарського заняття 4 з курсу загальної фізики 1
2 УДК: 539. ББК.314: .37 Р15 Рецензент: канд. фіз.-мат. наук, доцент кафедри «Загальна фізика» КДУ А.С. Кожевников Затверджено методичною комісією КФ МГТУ ім. Н.е. Баумана (протокол 6 від 4.1.1) Р15 Радченко І. Н. Знаходження середніх значень фізичних величин. методичні вказівки до проведення семінарського заняття 4 з курсу загальної фізики. М. Видавництво МГТУ ім. Н. Е. Баумана, с. ISBN Методичні вказівки містять теоретичну частину, присвячену визначенню фізичних величин з використанням імовірнісного підходу і операційного числення. Вказівки призначені для викладачів і студентів другого курсу всіх спеціальностей КФ МГТУ ім. Н.е. Баумана. УДК: 539. ББК.314: .37 Радченко І.М. 14 Видавництво МГТУ ISBN ім. Н.е. Баумана, 14
if ($ this-> show_pages_images $ Page_num doc [ 'images_node_id'])
4 1. ВИМІРЮВАННЯ В КВАНТОВОЇ МЕХАНІЦІ. Імовірнісного підходу. СЕРЕДНІ ЗНАЧЕННЯ ФІЗИЧНИХ ВЕЛИЧИН Процес вимірювання будь-якої фізичної величини (енергії, імпульсу і т. П.), Що характеризує стан мікрочастинки (або будь-який інший квантової системи), пов'язаний із взаємодією мікрочастинки з макроскопічними приладами, що визначають дану фізичну величину. Тому підхід до результатів вимірювання фізичних величин у квантовій механіці принципово відрізняється від випадку класичної механіки і носить імовірнісний, статистичний характер. З іншого боку, стан квантової системи однозначно і повністю описується хвильової функцією, яка містить інформацію про всі фізичні параметри даного стану квантової системи. Очевидно, що результати визначення будь-якої фізичної величини повинні бути пов'язані з хвильової функцією. Який же буде результат вимірювання деякої фізичної величини для мікрочастинки в заданому квантовому стані, т. Е. Коли хвильова функція ψ (x, yzt.) Відома? Розглянемо процес визначення деякого фізичного параметра квантової системи в серії однакових дослідів. Можливі два випадки: 1. Для деяких квантових станів системи вимірювання фізичної величини f в ряді дослідів дають кожен раз один і той же результат (з урахуванням експериментальних похибок, зрозуміло). У цьому випадку говорять про певне значення фізичної величини f в даному квантовому стані, яке називають власним станом оператора ˆФ, відповідного вимірюваної величиною f. Як вже говорилося, результатом вимірювання фізичної величини f можуть бути тільки власні значення відповідного їй оператора ˆФ. При цьому квантова система знаходиться в стані, описуваному хвильової функци- 4
5 їй ψ, яка обов'язково є однією з власних функцій оператора ˆФ. Існують такі квантові стану, коли серія вимірювань, проведених в одних і тих же умовах, кожен раз дає різні значення f1, f, і т. Д. Тоді говорять, що фізична величина f не має певного значення, і при її вимірі з певною ймовірністю отримані значення з спектра власних значень оператора ˆФ. В цьому випадку можна розрахувати ймовірність P отримання певного результату f, знаючи яку, можна визначити середнє значення величини f = Pf і її середньоквадратичне відхилення (дисперсію) (f) f. функція (x, yzt.) Хвильова ψ такого квантового стану не є власною функцією оператора ˆФ, а стан системи можна представити у вигляді суперпозиції власних станів цього оператора. Для визначення ймовірності P отримання значення f скористаємося тим, що будь-яку хвильову функцію (x) жити в ряд за власними функціями (x) ψ можна розкласти ψ оператора ˆФ (властивість повноти системи власних функцій ермітових операторів): ψ x = c ψ x () (). Коефіцієнти c визначаються з умови ортонормірованності власних функцій ермітових операторів. Помножимо останній вираз на ψ m (x) і інтегруємо по всій області * зміни змінної x. При цьому в правій частині з усієї суми залишиться тільки один доданок при = m: * * ψ ψ x dx = c ψ ψ x dx, = m, т. Е. C () () mm * * * (x) dx і c = ψψ () = ψ ψ x dx. 5
6 6 Імовірність P отримання значення f визначається як * = =, P c c c і середнє значення вимірюваної величини f при великому числі вимірювань. f = Pf = c f Перетворимо цей вираз так, щоб, знаючи вид квантового оператора ˆФ, відповідного фізичної величиною f, можна було розрахувати її середнє значення f. Для цього підставимо вираз * для коефіцієнта c в формулу визначення середнього значення: * f = c f = c c f = () () * * = c f ψ ψ x dx = c ψ x ψ f dx. Так як ˆФ ψ = f ψ, то () * f = c ψ x ˆФ ψ dx. оскільки оператор ˆФ є лінійним, т. Е. Результат його дії на суперпозицію функцій дорівнює суперпозиції результатів дії на функції окремо, можна внести підсумовування з коефіцієнтами c під інтеграл. Тоді з урахуванням лінійності оператора ˆФ отримуємо * * f (x) Фˆ = () Ф ˆ ψ cψ dx = ψ x ψ (x) dx. Таким чином, ми отримали вираз для визначення середнього значення деякої фізичної величини f по відомій хвильової функції квантового стану і з вигляду відповідного квантового оператора ˆФ.
7 Приклади розв'язання задач. Завдання 1. Хвильова функція, що описує деяку частку, має вигляд A e r a ψ =, r де A і a деякі постійні; r відстань частинки від силового центру. Визначте середнє значення квадрата відстані r частинки до силового центру. Рішення. За визначенням середнє значення фізичної величини де dv = 4 π r dr. Тоді () r = r ψ r dv, A ra () 4 4 rr = r ψ r π r dr = re π r dr = 3 ra π 4 a πa 3 = 4π A re dr = 4 π A = A. 3 відповідь. r = A. πa Завдання. Використовуючи умову нормування ймовірностей, визначте нормувальний коефіцієнт A хвильової функції A e ra ψ = r деякої квантової частинки (r відстань цієї частинки від силового центру; a деяка постійна) і середня відстань r частинки до силового центру. Рішення. Умова нормування ймовірності для ψ-функції: V A ra dv dv r dr (r) e ψ = 1; = 4 π; ψ =. r 7
8 8 Підставляючи ψ (r), отримуємо: ra ra 4π ra r A e 4π r dr = 4π A e dr = A ae = 4π A a = 1, і тоді 1 A =. πa Середня відстань до силового центру: з урахуванням r ra () 4 πar r = r ψ r dv = e π r dr = xe ra 1 a = re dr a = = a a kx dx =! (K) + 1. () 1 Відповідь. A = π a, r = a /. Завдання 3. Нормовані хвильові функції частки в одновимірної прямокутної потенційної «ямі» шириною l c нескінченно високими «стінками» мають вигляд π ψ (x) = si x, l l де = 1. Визначте середнє значення координати x частки. Рішення. За визначенням середнього значення фізичної величини l () x = x ψ x dx. Підставляючи в це вираження ψ (x), отримуємо:
9 l π 1 π l x = xsi x dx = x 1 cos x dx =. l l l l l Відповідь. x =. Завдання для самостійного рішення. Завдання 4. Хвильова функція, що описує основний стан електрона в атомі водню, має вигляд ψ = Ae ra, 3 де A = 1 π a деяка постійна; r відстань електрона від ядра; a перший борівський радіус. Визначте середнє значення квадрата відстані r електрона до ядра в основному стані. Відповідь. r = 3 a. Завдання 5. Хвильова функція, що описує деяку частку, має вигляд 3 3 () ψ =, Ae r a де A = 1 π a нормувальний коефіцієнт; a деяка постійна; r відстань частинки до силового центру. Визначте середнє значення відстані r до силового центру. a Відповідь. r =. π Завдання 6. Хвильова функція, що описує основний стан електрона в атомі водню, має вигляд 1 ra ψ 1 = e, 3 πa де r відстань електрона від ядра; a перший борівський радіус. Знайти для основного стану атома водню середнє значення F модуля кулоновской сили. 9
10 Відповідь. F e = πε a. Завдання 7. Нормована хвильова функція, що описує 1sсостояніе електрона в атомі водню, має вигляд 3 ψ = Ae ra, де A = 1 π a нормувальний множник; r відстань електрона від ядра; a перший борівський радіус. Знайти середнє значення U потенційної енергії електрона в полі ядра. e Відповідь. U =. 4 πε a Завдання 8. Частка знаходиться в одновимірної нескінченно глибокої прямокутної потенційної «ямі» шириною l в першому збудженому стані. Знайдіть середнє значення квадрата імпульсу p частинки. Відповідь. p 4π =. l 1