Потім пряму, теж по лінієчці,
Я проведу, щоб коло квадратом став,
Тут, в центрі, буде ринок. До ринку вулиці
Чи підуть прямі. Так промені розходяться,
Виблискуючи, від зірки. Зірка округла,
Ти Фалес воістину.
2. Рішення Бінга
Спосіб полягає в наступних діях, обчислюють кут а, під яким треба провести до діаметру АВ хорду АС = х, що є стороною шуканого квадрата. Щоб дізнатися величину цього кута, доведеться звернутися до тригонометрії: cos a = АС / АВ = х / 2r, де r - радіус кола.
Отже, сторона шуканого квадрата x = 2r cos a, площа ж його дорівнює 4rІcosІa. З іншого боку площа квадрата дорівнює рrІ = площі даного круга. Отже, 4rІcosІa = рrІ звідки cosІa = р / 4, cos a = 0,5 = 0,886.
За таблицями знаходимо: а = 27 ° 36ґ
Отже, провівши в даному колі хорду під кутом 27 ° 36 'до діаметру, ми відразу отримуємо сторону квадрата, площа якого дорівнює площі даного круга.
3. Завдання про трисекции кута
Трисекция кута в загальному випадку нездійсненна за допомогою циркуля і лінійки, існують криві, за допомогою яких це побудова можна виконати. Равлик Паскаля або трісектріса, квадратріса (в давнину теж називалася трісектрісой), конхоїда Никомеда, Конічні перетини, Спіраль Архімеда.
Одним із прийомів, що застосовувалися ще древніми для її вирішення, було механічне, за допомогою вставки. Правда, воно не вважалося строгим. Під вставкою розуміють взагалі побудова відрізка, кінці якого лежать на даних лініях і який проходить через деяку дану точку. Його можна отримати механічно за допомогою лінійки, на якій попередньо нанесені дві мітки на відстані, рівному довжині заданого відрізка. Цю лінійку обертають навколо нерухомої точки, переміщаючи в той же час таким чином, щоб одна з міток рухалася по одній із заданих ліній. Це продовжується до тих пір, поки друга мітка не опиниться на другий заданої лінії.
Друга найдавніша знаменита геометрична задача - це задача про трисекции кута. Завдання про поділ кута на три рівні частини. Гіппократ, вніс перший великий внесок у вирішення завдання про трисекции кута. Існує досить простий спосіб розділити на три рівні частини будь-яким кутом, який був відомий Гіппократа. Зараз розглянемо цей метод.
Цей спосіб полягає в наступному. Для даного кута проведемо пряму перпендикулярно прямої. перетинає її в точці. Побудуємо чотирикутник. Продовжимо до точки. перетинає в точці. Отже, точка вибрана так, що. то складає 1/3, що й треба було довести.
4. делосской завдання про подвоєння куба
На острові Делос (в Егейському морі) поширилася епідемія чуми. Коли жителі острова звернулися до оракула за порадою, як позбутися від чуми, вони отримали відповідь: "Подвійте жертовник храму Аполлона". Спочатку вони вважали, що завдання легка. Так як жертовник мав форму куба, вони побудували новий жертовник, ребро якого було в два рази більше ребра старого жертовника. Делосцев не знали, що таким чином вони збільшили обсяг не в 2 рази, а в 8 разів. Чума ще більше посилилася, і у відповідь на вторинне звернення до оракула останній порадив: "Трохи краще вивчайте геометрію." Згідно з іншою легендою, бог приписав подвоєння жертовника не тому, що йому потрібен вдвічі більший жертовник, а тому, що хотів дорікнути греків, "які не думають про математику і не дорожать геометрією ".
З тих пір делійської завданням займалися кращі математики античного світу, було запропоновано кілька рішень, проте ніхто не зміг виконати таке побудова, використовуючи тільки циркуль і лінійку. Стародавні греки порівняно легко вирішили задачу на подвоєння квадрата. Для цього треба було вміти будувати за допомогою циркуля і лінійки корінь квадратний з двох. Розглянемо легенду.
Легенда. Цар Мінос наказав спорудити пам'ятник своєму синові Главку. Архітектори дали пам'ятника форму куба, ребро якого дорівнювало 100 ліктів. Але Мінос знайшов цей пам'ятник занадто малим і наказав його подвоїти. Відчуваючи своє безсилля у вирішенні поставленого завдання, архітектори звернулися за допомогою до вчених-геометрам, але і вони не могли вирішити зазначеного завдання. Виявилося, що рішення задачі про подвоєння куба перекладається до геометричного побудови кореня кубічного з двох. У 1837 р той же П. Ванцель довів, що неможливо побудувати за допомогою тільки циркуля і лінійки відрізок, в 1/2 разів більший даного, тобто підтвердив нерозв'язність завдання подвоєння куба.
Гіппократ Хиосский (кінець V ст. До н. Е.) Показав, що задача зводиться до знаходження двох середніх пропорційних між одним відрізком і іншим, вдвічі більшим його.
Архіт Тарентський (початок IV ст. До н. Е.) Запропонував рішення, засноване на перетині тора, конуса і кругового циліндра.
Платон (перша половина IV ст. До н. Е.) Запропонував механічне рішення, засноване на побудові трьох прямокутних трикутників з потрібним співвідношенням сторін.
Менехм (середина IV ст. До н. Е.) Знайшов два рішення цього завдання, засновані на використанні конічних перетинів. У першому рішенні відшукується точка перетину двох парабол, а в другому - параболи і гіперболи.
Ератосфен (III в. До н. Е.) Запропонував ще одне рішення, в якому використовується спеціальний механічний інструмент - мезолябія, а також описав рішення своїх попередників.
Нікомед (II ст. До н. Е.) Використовував для вирішення цього завдання метод вставки, виконуваної за допомогою спеціальної кривої - конхоїда.
Спроба вирішити задачу про подвоєння куба за допомогою циркуля і лінійки.
Стародавні греки порівняно легко вирішили задачу про подвоєння квадрата. Для цього треба було вміти будувати за допомогою циркуля і лінійки корінь квадратний з двох. Якщо сторона певного квадрата дорівнює a. а сторона шуканого квадрата x. то, згідно з умовою завдання, будемо мати:
Щоб побудувати. треба провести гіпотенузу рівнобедреного прямокутного трикутника, у якого кожен катет дорівнює одиниці. Далі відрізок, рівний. збільшити в a разів. Якщо ребро даного куба покласти рівним a. а ребро шуканого куба - x. то, згідно з умовою завдання будемо мати:
Однак всі старання побудувати циркулем і лінійкою не увінчалися успіхом.
5. Рішення завдання про подвоєння куба за допомогою допоміжних засобів
Рішення Гіппократа Хиосськом за допомогою "вставок"
Одним з перших давньогрецьких геометрів, які зробили значний крок у вирішенні завдання про подвоєння куба, був Гіппократ Хиосский (5 ст. До н.е.). Рішення стереометричних задачі, якою є делосской завдання про подвоєння куба. Гіппократ Хиосский звів до розгляду планіметричний завдання, що полягає в знаходженні двох середніх пропорційних між двома даними відрізками, з яких другий в два рази більше першого, тобто до знаходження таких двох відрізків x і y. Оскільки a, x, y, 2a- геометрична прогресія, то a / x = x / y = y2a. Звідки
і. Отже. або. Виходить, що x і є ребро шуканого куба, що перевершує за обсягом даний куб з ребром a в два рази. Однак, як і слід було очікувати, Гіппократа не вдалося відшукати ребро подвоєного куба x за допомогою геометричної побудови, вдаючись тільки до циркулю і лінійці, але йому цілком вдалося, як ми переконалися вище, стереометрическую завдання звести до плоскої задачі на відшукання двох "вставок" x і y між a і 2а. причому a -ребро даного куба, а x - шукане ребро подвоєного куба.
Розглянемо рішення делосской завдання, яке приписують Платону. Це рішення засноване на наступній лемі:
У всякій прямокутної трапеції з перпендикулярними діагоналями відрізки діагоналей утворюють геометричну прогресію:
Доказ: Нехай ABCD- прямокутна трапеція, у якої і. В цьому випадку доведемо, що.
З того, що і прямокутні, а OBі OA відповідно їх висоти, отримуємо:
З (1) і (2), як наслідок, отримуємо:
Що й потрібно було довести.
Рішення Буонфальче (наближене рішення)
Буонфальче дає одне з найпростіших наближених рішень задачі про подвоєння куба за допомогою циркуля і лінійки (точного вирішення цього завдання за допомогою циркуля і лінійки, як відомо, дати не можна).
Нехай дано куб з ребром a і потрібно знайти ребро x подвоєного куба. Рішення виконаємо наближено за допомогою тільки циркуля і лінійки. Будуємо прямокутний трикутник ABCс бічною стороною, рівною a. Сторону AC = ділимо на 6 рівних частин і знаходимо на катеті BCот точки Cк точці В точкуD з таким розрахунком, щоб виконувалося рівність
Поєднавши AС D, отримаємо відрізок AD, який для кратності позначимо через x. Тепер підрахуємо, чому дорівнює x.
По теоремі Піфагора матимемо:
Отже, ребро подвоєного куба приблизно однакова,
Якщо ребро даного куба одно a. Таким чином, якщо даний куб має ребро а. рівне отрезкуAB, то x - шукане ребро подвоєного куба - буде приблизно дорівнювати відрізку AD, який відрізняється від істинного значення шуканого ребра менше, їм на.
Математика володіє чудовою особливістю, що виділяє її з інших наук: якщо в ній потягнути за якусь ланку, то можна витягнути весь ланцюг її фактів, причому як такі її частини, які передують вибраному ланці, так і такі, які за ним слідують. Відбувається це тому, що математика розвивається за своїми внутрішніми законами, і саме ці закони із залізною необхідністю змушують нас говорити "Б" всякий раз, коли сказано "А". Роль одного з ланок у розвитку математики зіграли і великі завдання. Взявши це ланка, можна угледіти генетичний зв'язок між ним і дуже багатьма областями як старої, так і нової математики.
Тому застосування даної роботи полягає в порушенні інтересу до стародавніх геометричним задачам, які можуть підштовхнути до вирішення будь-яких завдань наших днів і допомогти знайти відповіді на питання сучасної геометрії.
1. Чистяков В.Д. Три знамениті задачі давнини - М. 1963.
2. Рудіо Ф. Про квадратуру кола М.-Л. 1936.
3. Лебедєв В.І. Знамениті геометричні завдання давнини. 1920.
4. Манін Ю. І. Про можливості розв'язання задач на побудову за допомогою циркуля і лінійки // ЕЕМ 1963. Книга 4 с.205-229.
Розміщено на Allbest.ru