Для з'ясування співвідношення між Z -Перетворення і безперервним перетворенням Лапласа, а також співвідношення частотних властивостей дискретного і безперервного сигналів розглянемо зв'язок спектрів цих сигналів.
Спектр безперервного сигналу x (t) визначається його перетворенням Фур'є. де w = 2pf - кругова частота сигналу, - ¥ £ w £ ¥.
Щоб знайти вираз спектра дискретного сигналу, його треба попередньо уявити в безперервній формі за допомогою d-функцій
де U * (t) - послідовність d-функцій, наступна з періодом T. Як періодичну функцію U * (t) можна розкласти в ряд Фур'є
де - кругова частота квантування, Uk - коефіцієнт ряду Фур'є:
отже все коефіцієнти ряду Фур'є рівні незалежно від значення k. Для всієї суми d-функцій
Підставляючи U * (t) в вираз сигналу, отримаємо
У такому вигляді сигнал x * (t) може бути підданий перетворення Фур'є:
де - зміщений на k w0 спектр безперервного сигналу.
Загальний висновок: спектр дискретного сигналу представляє нескінченну суму (рис. 5.6) зміщених спектрів безперервного сигналу.
Це означає, що при певній частоті квантування частотні характеристики дискретних систем представлятимуть суму зміщених частотних характеристик відповідних безперервних систем. Це також означає, що якщо максимальна частота спектра безперервного сигналу (WМ) або, максимальна частота пропускання безперервної частини системи (Wп) менше половини частоти квантування w0. то накладення окремих складових спектра не буде, і характеристики дискретної системи в істотному діапазоні частот будуть збігатися з характеристиками безперервної системи.
І так для системи необхідно.
Для неспотвореної передачі безперервного сигналу його дискретними значеннями необхідно, щоб максимальна частота спектра безперервного сигналу.
Остання умова є стрижнем знаменитої імпульсної теореми Котельникова-Шеннона, згідно з якою частота квантування w0 = 2p / T повинна бути принаймні в 2 рази більше максимальної частоти спектру безперервного сигналу, що передається його дискретними значеннями.
5.3.2. Зв'язок між безперервним перетворенням Лапласа
і Z-перетворенням
З виразів безперервних перетворень Лапласа і Фур'є, що приводяться раніше, слід, що і. Використовуємо ці співвідношення для перетворень дискретних сигналів і отримаємо. Якщо ввести заміну. отримаємо зв'язок безперервного перетворення Лапласа і Z -перетворення
Символічно цей зв'язок записують наступним чином:
що символічно означає.
Записані вираження зв'язку F (z), F (z, s), F (s) мають головним чином, теоретичне значення і не використовуються для практичного визначення F (z) і F (z, s) по F (s). Існує два способи практичного переходу від F (s) до F (z) і F (z, s).
Попередньо визначається тимчасова функція, відповідна вихідного зображення.
Щоб полегшити перехід в дискретну область, можна попередньо розкласти F (s) на суму простих складових успіху.
Розклад на прості доданки дає
З таблиць відповідності маємо:. Таким чином . Піддаючи f (t) Z -Перетворення, отримаємо:
Здійснюється безпосередній перехід від F (s) до F (z), використовуючи таблицю відповідності зображень [6]. Якщо в таблиці немає зображення відповідно до заданого F (s), виконують розкладання F (s) на суму більш простих виразів.
Приклад. Нехай. Уявімо заданий F (s) сумою доданків. де. Визначимо модифіковане Z -Перетворення
Окремий випадок. важливий в практиці записи Z-зображення по заданому F (s).
5.3.3. Зворотне перетворення Лапласа
Зворотним перетворенням Лапласа називається визначення тимчасової функції f (t), для якої пряме перетворення Лапласа
Зворотним Z -Перетворення або називається визначення дискретної функції часу f (nT) (f [(n + s) T]), для якої або.
Відзначимо обмеження, які слід мати на увазі, виконуючи зворотне перетворення Лапласа або зворотне Z -Перетворення.
1. Не кожна функція F (s) має зворотне перетворення. Існування зворотного перетворення визначається необхідними і достатніми умовами, що накладаються на F (s).
2. Пряме перетворення Лапласа єдино для кожної f (t), що має таке перетворення. Протилежне твердження, в загальному випадку, несправедливо. Різні розривні функції можуть мати однакове перетворення Лапласа. Наприклад, одинична ступінчаста функція f (t) = = 0 для t <0 и f (t ) = 1 для t> 0 має перетворення Лапласа 1 / s незалежно від значення, прийнятого при t = 0.
3. Зворотне Z - або Zs - перетворення, якщо воно існує, дозволяє визначити лише послідовність окремих значень неперервної функції-оригіналу, що існують в моменти часу t = nT або
t = (n + s) T. Однієї і тієї ж послідовності дискретних значень f (ТT) або f [(n + s) T] може відповідати безліч огинають f (t). Тому по зворотному Z - перетворення принципово неможливо відновити безперервну функцію f (t).
Існує два загальних практичних способу визначення зворотних перетворень як для безперервних, так і для дискретних систем.
1. Використання таблиць зворотних перетворень Лапласа і зворотних Z -Перетворення, наприклад в [6]. Якщо вихідного F (s) і F (z) зображення немає в таблиці слід використовувати розкладання його на суму або твір зображень, наявних в таблиці.
2. Використання формули звернення.
Для безперервного зображення
Значення контурного інтеграла визначається в відкритому інтервалі, де f (t) обмежена і має кінцеве число точок екстремуму і розриву. Рішення часто вдається отримати за допомогою теореми про відрахування:
Обчислення інтеграла звернення як суми відрахувань широко використовується в різних програмних продуктах, що використовуються при комп'ютерному моделюванні систем автоматичного управління.
Для дискретного зображення формула звернення має вигляд
Контур інтегрування R повинен охоплювати початок координат площині Z і все особливі точки підінтегральної функції. Як і в безперервному випадку, кругової інтеграл зазвичай розраховується як сума відрахувань підінтегральної функції в особливих точках:
N - число відрахувань; N = q + 1 для n = q для n> 0, де q - число особливих точок функції F (z, s).
Відрахування обчислюються наступним чином:
- для простого полюса
- для кратного полюса кратності m
Крім двох загальних методів, у разі зворотного Z -перетворення використовується також розкладання F (z, s) в ряд по зростаючим ступенями z -1 відповідно до основної формулою Z -перетворення
Коли F (z, s) представлено раціональним дробом розкладання за ступенями z -1 може бути виконано простим поділом чисельника на знаменник.
При більш складних виразах F (z) і F (z, s) краще використовувати обчислення по рекуррентной формулою:
Аналогічно перетворення диференціального рівняння безперервної системи здійснюється Z -Перетворення різницевого рівняння дискретної системи.
Нехай дискретна система описується рівнянням
Піддамо це різницеве рівняння Z -Перетворення, приймаючи початкові умови нульовими:
Записуючи отримане рівняння в стислій формі, отримаємо
Беручи відносини Z-зображення, отримаємо передавальні функції дискретної системи по керуючому і обурює впливів:
Для дискретно-безперервної системи визначення дискретної передавальної функції виконується на основі переходу від безперервної передавальної функції наведеної безупинної частини до її дискретного еквіваленту в Z-області. Покажемо цей перехід на прикладі розімкнутої дискретно-безперервної системи з одним імпульсним елементом на її вході (рис. 5.7). На схемі.
Так як вхідний сигнал наведеної безупинної частини являє собою суму модульованих по площі вхідним сигналом g (t) d-функцій, вихідний сигнал y (t) буде представляти суму реакції ПНЧ на d-функції; т. е. суму функцій ваги ПНЧ
Якщо замість безперервного сигналу y (t) відзначати лише його дискретні значення y (nT) або y [(n + s) T], то отримаємо ґратчасту функцію y (n) або y (n. S):
Піддамо цю гратчасту функцію модифікованому Z -Перетворення
З урахуванням теореми згортки маємо
Тут - дискретна передавальна функція розімкнутої дискретно-безперервної системи. З одного боку, вона пов'язує Z -зображення дискретних сигналів, з іншого боку, вона визначається як Z-форма передавальної функції наведеної безупинної частини.
У структурних схемах дискретних систем імпульсні (дискретні) елементи зображуються ключами (рис. 5.8.). Іноді ключ забезпечується замикає стрілкою і великою літерою T, яка означає, що елемент здійснює квантування з періодом T.
Ідеальний імпульсний елемент зображується прямокутником з символом - функції всередині (рис. 5.9, а).
Яка Формує елемент зображується як звичайне неперервна ланка прямокутником із записом його передавальної функції (рис. 5.9, б).
Крім загальних структурних схем широко використовуються деталізовані структурні схеми, що складаються тільки з безінерционних масштабних ланок і ідеальних інтегруючих ланок з повністю розкритими зв'язками між ними.