Комплексна спектральна щільність X (jf) безперервного сигналу x (t) (надалі для стислості будемо говорити: спектр сигналу) обчислюється за формулою прямого перетворення Фур'є
Сигнал x (t) може бути відновлений по спектру X (jf) за допомогою зворотного перетворення Фур'є, або інтеграла Фур'є
Відповідно до принципу невизначеності сигнал, який має обмежену протяжність у часі, володіє необмеженим по смузі спектром (рис. 1.9, а). І навпаки, сигнал з обмеженим спектром має нескінченну протяжність в часі (рис. 1.10, а). Як випливає з цих малюнків, безперервний сигнал, і обмеженою і нескінченної протяжності в часі, має суцільний спектр.
Якщо сигнал x (t) є періодичним, то спектр його - дискретний, тобто тепер замість X (jf) використовують відліки X [n]. Ця ситуація показана на рис. 1.9, б. Період сигналу дорівнює тривалості сигналу Tc. Інтервал дискретизації спектра по частоті F визначається, як відомо, періодом сигналу, в даному випадку F = 1 / Tc. Формули для прямого і зворотного перетворень Фур'є виходять з (3) і (4) шляхом заміни безперервної частоти f на дискретні значення nF. При цьому слід врахувати відомий зв'язок між амплітудами гармонік X [n] періодичного сигналу і отсчетами X [jnF] спектральної щільності X (jf) безперервного сигналу:
Спектр X [n] періодичного сигналу обчислюється за формулою
Сигнал x (t) можна відновити за його дискретного спектру, скориставшись формулою
Відповідно до принципу дуальності можна сказати: якщо періодичним є спектр, то дискретним буде сигнал (рис. 1.10, б). Позначаючи період повторення спектра fd. отримаємо інтервал дискретизації сигналу T = 1 / fd.
Формули прямого і зворотного перетворень Фур'є для дискретних сигналів мають вигляд
У формулах (7) і (8) використано позначення x [n] = x (nT).
Приклад 4.1. Розрахуємо спектр дискретного сигналу, що складається з одного відліку x [n] = [a; 0; 0; 0; ...].
Скористаємося формулою (7), в яку підставимо значення x [n] заданого сигналу
Приклад 4.2. Розрахуємо спектр експоненційної дискретної функції x [n] = 0,5n, n # 63; 0.
Графік дискретної функції x [n] наведено на рис. 1.11, а її відлік можна записати у вигляді послідовності x [n] =.
Спектр дискретної експоненти розрахуємо за формулою (7)
де для підсумовування ряду використана формула
Отримаємо вираз для розрахунку спектра амплітуд X (f). використовуючи формулу Ейлера
Для побудови графіка будемо задавати значення f від 0 до 1 / Т з кроком 0,1 / T і розраховувати X (f). Графік спектру амплітуд X (f) експоненційної дискретної функції x [n] = 0,5n наведено на малюнку 1.12. Як видно з графіка, спектр дискретного сигналу суцільний і періодичний з періодом fd = 1 / T.
Якщо Ви помітили помилку в тексті виділіть слово і натисніть Shift + Enter