Якщо завдання про відшукання рішень диференціального рівняння вдається звести до кінцевого числа алгебраїчних операцій, операцій диференціювання та інтегрування відомих функцій, то кажуть, що диференціальне рівняння інтегрується в квадратурі.
У додатках вкрай рідко зустрічаються рівняння. інтегровані в квадратурі. Для дослідження і рішення рівнянь, що не інтегруються в квадратурі, використовуються чисельні методи розв'язання задачі Коші.
Чисельне рішення задачі Коші y '= f (x. Y), y (a) = y 0 на відрізку [a. b] полягає в побудові таблиці наближених значень y 0. y 1. y i. y N рішення y = y (x), y (xi) ≈ y i.
Чисельний метод рішення задачі Коші називається однокроковим, якщо для обчислення рішення в точці x0 + h використовується інформація про рішення тільки в точці x0.
Найпростіший однокроковий метод чисельного розв'язання задачі Коші - метод Ейлера. У методі Ейлера величини y i обчислюються за формулою: y i +1 = yi + h · f (xi. Yi):
y '= f (x. y), y (a) = y 0. x ∈ [a. b],
Для похибки методу Ейлера на одному кроці справедлива оцінка
а для оцінки похибки рішення на всьому відрізку [a. b] справедливо
Для практичної оцінки похибки можна рекомендувати правило Рунге: виробляються обчислення з кроком h - вичісляютcя значення y (h) i. потім виробляються обчислення з половинним кроком h / 2 - вичісляютcя значення y (h / 2) i.
За оцінку похибки обчислень з кроком h / 2 приймають величину