Теорема про існування оберненої матриці.
Матриця А має зворотну тоді і тільки тоді, коли визначник відмінний від нуля, тобто матриця А невироджена.
1) Необхідність. Нехай для матриці А існує зворотна. Доведемо, що. З визначення зворотної матриці:. Використовуючи властивості визначників, отримаємо:
. отже,. значить матриця А невироджена.
2) Достатність. Нехай визначник матриці А відмінний від нуля. Доведемо, що для матриці А існує зворотна матриця.
Знайдемо транспоновану матрицю:
Для кожного елемента матриці знайдемо алгебраїчне доповнення і складемо приєднану матрицю:
Використовуючи основний властивість алгебраїчних доповнень, отримаємо:
Тоді. Отже, якщо. то отримаємо. тобто для невироджених матриці А побудували зворотну матрицю
Елементарні перетворення матриці. До елементарним перетворенням матриці відносяться такі перетворення:
1) Множення елементів якого-небудь рядка (стовпчика) матриці на один і той же відмінне від нуля число
2) Додаток до елементів рядка (стовпця) відповідних елементів іншого рядка (стовпця) матриці, попередньо помножених на одне і те ж число
3) Перестановка рядків (стовпців) матриці
4) Викреслювання нульовий рядки (стовпці)