Визначення 1. Матриця В називається оберненою для матриці А, якщо
де Е - одинична матриця.
Теорема 1 (необхідні умови існування оберненої матриці). Для того, щоб матриця А мала зворотний вона повинна бути квадратної і невироджених.
Доведення. Обмеження на розмірність матриці випливає з необхідної умови існування операції множення матриць: кількість стовпців першого співмножники має дорівнювати числу рядків другого, а так як в даному випадку ще накладається і додаткову умову коммутативности (1), то для його виконання матриці повинні бути квадратними матрицями одного і того ж розміру.
Необхідність виконання другої умови доведемо методом від противного. Припустимо, що знайшлася матриця А. є виродження, тобто . у якій існує зворотна матриця В.
Тоді, з одного боку,. з іншого боку, . Отримуємо протиріччя. Отже, припущення є невірним і матриця А - невироджена. Теорема доведена.
Зауваження. Таким чином, якщо у матриці А існує зворотна матриця, то вона є квадратною матрицею того ж розміру, причому невироджених.
Теорема 2 (єдиність існування оберненої матриці). Якщо у матриці існує зворотна матриця, то вона є єдиною.
Доведення. Застосуємо метод від супротивного. Припустимо, що знайшлася матриця А для якої існують дві різні зворотні матриці В і С:
Тоді, так як. то множачи обидві частини рівності зліва на матрицю, отримуємо
І цього випливає, що матриці А і В - рівні. Протиріччя. Отже, якщо у матриці існує зворотна, то вона єдина. Теорема доведена.
Теорема 3 (формула для обчислення зворотної матриці). Якщо квадратна матриця є невироджених, тобто . то зворотна матриця може бути визначена за правилом:
де - алгебраїчні доповнення до елементів. ; матриці.
Доведення. Для доведення твердження достатньо показати виконання умови (1).
Так як згідно властивостям алгебраїчних доповнень до елементів матриці (дивіться пункт 4):
Так як, згідно властивостям алгебраїчних доповнень до елементів матриці (дивіться пункт 4):
Таким чином, умови визначення 1 виконуються. Теорема доведена.
Але особливої необхідності в цьому немає.
Приклад 1. Для матриці знайдіть зворотну матрицю.