Нехай дано знакозмінний ряд. Розглянемо ряд, складений з абсолютних величин його членів | a1 | + | a2 | + ... + | an | + ... Очевидно, що це ряд з додатними членами.
Ряд називається абсолютно збіжним. якщо сходиться ряд складений з його членів.
Теорема. Всякий абсолютно сходиться ряд сходиться. Сума такого ряду дорівнює різниці між сумою його плюс-ряду і сумою мінус-ряду.
Нехай ряд а1 + а2 + ... + аn + ... сходиться абсолютно, тобто сходиться ряд | a1 | + | a2 | + ... + | an | + ... Позначимо часткові суми ряду з модулів його членів через Tn. Маємо Tn = Tn + + Tn - (де Tn + - деяка часткова сума плюс-ряду, Tn - - часткова сума мінус-ряду.) З огляду на сходімоті ряду | a1 | + | a2 | + ... + | an | + ... його часткові суми Tn обмежені деяким числом С. Тоді слід, Tn1 + £ С і Tn2 - £ С, тобто часткові суми мінус і плюс-ряду також обмежені зверху числом С. Згідно з критерієм збіжності рядів з додатними членами звідси випливає збіжність плюс і мінус-рядів, тобто існують межі T + = lim T + k і T - = lim T - l. якщо тепер
з рівності перейти до межі при n®μ, то отримаємо limTn = T + -T -. ч.т.д.
Умовно сходяться ряди.
Ряд а1 + а2 + ... + аn + ... називається умовно збіжним. якщо він сходиться, а ряд, складений з модулів його членів, розходиться.
(Теорема Рімана. Якщо ряд сходиться умовно, то в результаті перестаноскі його членів можна отримати ряд, який має будь-яку суму, а також розходиться ряд.)
Ряди з комплексними членами. (Cо слів Гончаренка)
Комплексне число представляється у вигляді a + b * i, де а - дійсна частина числа, i - уявна одиниця (пояснюю: уявна одиниця - одиниця, квадрат якої дорівнює «-1»).
Якщо суми дійсних (Sаn) і уявних (Sbn i) частин комплексних чисел сходяться, то сходиться і весь ряд комплексних чисел. (Аналогічні та інші визначення.)
7. Властивості правильно збіжних рядів: безперервність суми ряду, почленное диференціювання та інтегрування. (!! передбачається рівномірно сход = правильно сход).
Функція S (x), хÎW є сумою ряду, якщо S (x) = lim n → ∞ S (x). де S (x) = f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x)
Якщо S (x). х ÎL (LÍ# 8486;) є сумою ряду f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) + ... = n = 1 Σ ∞ fn (x) (функціональний ряд), то говорять, що рядсходітся на безлічі L функції S (x).
Функціональний ряд називається рівномірно збіжним на безлічі L до функції S (x). якщо для будь-якого числа e> 0 існує номер N такий, що при n³N Відразу для всіх хÎL виконується нерівність ½S (x) -Sn (x) ½ Якщо функціональний ряд сходиться на безлічі L. то на цій множині збіжність не зобов'язана бути рівномірною, однак на деякому підмножині безлічі L збіжність може виявитися вже рівномірною. Ознака рівномірної збіжності Вейерштрасса. Якщо члени функціонального ряду f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) + ... задовольняють на безлічі L нерівністю ½ fn (x) ½≤Сn (n = 1,2 ...). де Сn - члени сходиться чісловогоряда С1 + С2 + ... + Сn + ... то функціональний ряд сходиться на безлічі L рівномірно. Якщо функції fn (x) неперервні на [a, b], складений з них ряд f1 (x) + f2 (x) + ... + fn (x) + ..., то 1.Функция f (x) на [a, b] неперервна Якщо fn (x) мають неперервну похідну на [a, b] і на цьому відрізку Опр. Вираз виду а0 + а1х + а2х 2 + ... + ак х до + .... (*) де а0, а1, а2, ... - деяка числова послідовність зв статечним поруч. а0, а1, а2, ... - коефіцієнти степеневого ряду. Якщо х надавати числові значення, то будемо отримувати числ. Ряди, які можуть сходитися і розходитися. Безліч Х, при яких ряд (*) сходиться, називається областю збіжності. 1) Якщо ряд (*) сходиться в деякій точці х0 ≠ 0, то цей ряд буде сходиться і при всіх х, що задовольняють умові: | х |<|х0|. 2) Якщо ряд (*) розходиться в т. Х1 ≠ 0, то цей ряд розходиться при всіх x: | х |> | х1 |. Док-во.1). За ум статечної ряд а0 + а1х0 + а2х0 2 + ... + ак х0 до + ... (**) сходиться, тому ак х0 до → 0, при до → ∞. Значить, що сходиться послідовність до х0 до> обмежена, тобто сущ-т константа М така, що | ак х0 до | Нехай | х |<|х0|, тогда |ак х к |=|ак х0 к ||х/х0|<М|х/х0| к. причем |х/х0|<1. Поэтому члены ряда (***) не превосходят соответствующих членов сходящегося ряда М + М | х / х0 | + М | х / х0 | 2 + ... + М | х / х0 | до + ... - суми нескінченно спадної геометричної прогресії. Тому ряд (***) сходиться, а ряд (**) сходиться абсолютно. 2) Припустимо, що ряд (**) розходиться при х = х1, але для деякого х: | х |> х1 По першій частині теореми ряд (**) сходиться абсолютно при х = х1, отже отримали протиріччя.Схожі статті