Ряд називається абсолютно збіжним. якщо ряд з невід'ємними членами сходиться.
Теорема 2 Якщо ряд абсолютно сходиться, то він сходиться.
Протилежне твердження в загальному випадку не має місця.
Абсолютно збіжні ряди мають властивості:
- якщо ряд абсолютно сходиться і =. =. то;
- якщо ряди і абсолютно сходяться, то при будь-яких і ряд абсолютно сходиться;
- якщо ряд абсолютно сходиться, то ряд, складений з тих же членів, але узятих в іншому порядку, також абсолютно сходиться і його сума дорівнює сумі початкового ряду;
- якщо ряди і абсолютно сходяться, то ряд, складений з різноманітних попарних творів членів цих рядів, розташованих в будь-якому порядку, також абсолютно сходиться.
Якщо ряд сходиться, а ряд розходиться, то ряд називається умовно збіжним.
Для ряду позначимо через. . ...,, ... і. . ...,. ... відповідно його невід'ємні і негативні члени, взяті в тому ж порядку, в якому вони розташовані в ряді. Розглянемо ряди і. члени яких невід'ємні.
Теорема 3 Якщо ряд умовно сходиться, то обидва ряди і розходяться.
Теорема 4 (Рімана) Якщо ряд умовно сходиться, то, яке б не було дійсне число. можна так переставити його члени, що сума отриманого ряду дорівнюватиме