Закони розподілу дискретних випадкових величин.
Серед законів для дискретних випадкових величин найбільш поширеним є Біноміальний розподіл.
Нехай с. в. Х - число появи події А в n однакових випробуваннях, незалежних щодо події А. Нехай ймовірність появи події А в кожному випробуванні постійна і дорівнює р (А) = р, (0
Тут: X = m = 0; 1; 2; ... .; n - можливі значення, складові ПГНС. У цьому випадку справедливо співвідношення:
Знайдемо вираз для математичного очікування біноміального розподілу.
Розглянемо розкладання бінома Ньютона:
Продифференцируем по р останню рівність:
Множимо обидві частини рівності на р:
так як (р + q) n -1 = 1, то отримаємо формулу:
Аналогічним чином отримаємо вираз для дисперсії біноміального розподілу. За другою формулою для дисперсії можемо записати:
Продифференцируем вдруге за р розкладання бінома Ньютона:
Множимо на р 2 обидві частини останнього рівності. З огляду на, що (р + q) = 1, отримаємо:
Звідки, з урахуванням того, що (1 p) = q, і що для біноміального розподілу M (X) = np, матимемо:
Найімовірніше число настання події А (мода бюіноміального распределегнія) визначається з подвійного нерівності:
Приклад. Випадкова величина Х - число бракованих деталей у вибірці з
n = 50 штук. Імовірність брвака кожної деталі р = 0,06. Знайти М (Х), D (X), (X), M0 числа бракованих деталей.
2. Розподіл Пуассона.
Розподіл Пуассона можна розглядати як граничний випадок біноміального розподілу, коли число випробувань n прямує до нескінченності з одночасним прагненням до нуля ймовірності очікуваного в випробуванні події.
Завдання. Нехай на вісь ОХ випадковим чином падають точки. Нехай випадковий розподіл точок на цій осі задовольняє трьом умовам:
1. Ймовірність влучення До штук точок на відрізок кінцевої довжини L залежить тільки від числа До і довжини етотго відрізка, причому ця ймовірність пропорційна довжині цього відрізка і не залежить від його положення на осі ОХ;
2. Точки падають на вісь незалежно один від одного, ймовірність кожної точки впасти на кінцевий довжини відрізок не залежить від того, куди впали інші точки;
3. Ймовірність влучення на малий елементарний отрезочек двох або більше точок преенбрежімо мала з ймовірністю попадання на нього однієї точки.
Знайти ймовірність того, що на відрізок осі ОХ довжиною L впаде рівно m точок.
Випадкова величина Х - число точок, що впали на відрізок L осі ОХ. Її можливі значення: 0; 1; 2; ...; m; ... - число може бути бескопечно великим.
Зведемо задачу до схеми, в якій може бути застосована формула Бернуллі.
Разоб'ём відрізок L на n рівних частин довжиною:
На елементарний відрізок, за умовою 3, може впасти тільки одна точка.
Нехай ймовірність влучення однієї точки на елементарний відрізок дорівнює: (умова 1), тоді - ймовірність непотрапляння однієї точки.
Тут: - коефіцієнт пропорційності.
Попадання або непопадання по одній точки в кожен елементарний відрізок є результат n незалежних випробувань. Імовірність того, що з n елементарних отрезочков в число m отрезочков потрапить по одній точки підраховується за формулою Бернуллі:
Знак пртбліжённого рівності обумовлений тим, що на відрізок все ж може впасти більш однієї точки. Для виключення такої можливості перейдемо, відповідно до умовою 3, до межі при, при цьому і.
Тут: - формула Пуассона.
Визначимо числові характеристики розподілу Пуассона.
Математичне сподівання розподілу Пуассона одно:, звідси можна дати фізичне тлумачення в умовах розгляду завдання параметра - це середня щільність числа точок (середнє число точок, що падають на одиницю довжини осі ОХ). В абстрактній формі - це середнє число подій, що припадають на одиницю виміру безперервного фізичного папраметра (це може бути довжина, час, концентрація і т. Д.).
Дисперсія розподілу Пуассона дорівнює: (без виведення). Отже, одним з прізнаколв наявності пуассоновского розподілу є рівність:
Знайдемо математичне сподівання кількості викликів за хвилину. Хвилинна щільність викликів дорівнює: Тоді математичне очікування складе величину: Шукана ймовірність дорівнює:
Розподіл Пуассона може бути використано як наближене для випадку біноміального розподілу, якщо в останнього, що може бути при дуже малих і великих. У цих випадках у формулі Пуассона математичне очікування пуассоновского розподілу замінюється на математичне очікування для біноміального розподілу. При цьому число очікуваних подій не повинно бути великим.
Приклад. Завод здав на базу 500 пляшок горілки. Імовірність розбиття при перевезення для кожної пляшки становить величину 0,002. Яка ймовірність того, що на базу прибуде 3 розбитих пляшки.
У цьому завданню точний закон розподілу - біноміальний, однак формула Бернуллі порактіческі не може бути застосована в силу великого числа n = 500. Однак, помічаємо, що Дисперсія чисельно близька до цієї величини:. Число - невелика, тому для вирішення задачі використовуємо формулу Пуассона:
Приклад. Імовірність виготовлення нестандартної деталі р = 0,004. Знайти ймовірність того, що серед 1000 деталей 5 нестандартні.
Якщо вважати цей варіант за формулою Бернуллі, отримаємо;
У випадках, коли n і m - великі числа і формули Бернуллі і Пуассона неспроможні, користуються наближеною локальної формулою Лапласа:
Тут: - стандартна функція ймовірностей (функція Гаусса), табульованих (табл. 1 додатка), її графік дан нижче, див. Рис. 6. По локальної формулою Лапласа для останнього прикладу отримаємо:. (Відмінність істотне).