Історично поняття проективної геометрії виникло з практичних міркувань, а саме, при зображенні просторових фігур на площині.
Нехай очей спостерігача знаходиться в точці. Щоб отримати на площині зображення фігури. яке виробляє те ж враження, що і сама фігура, треба через кожну точку фігури провести пряму і знайти точку перетину цієї прямої з площиною. Точка називається центральної проекцією точки на площину з центру.
Беручи за центр проектування різні точки, і змінюючи положення площини. ми будемо отримувати різні проекції фігури.
Наприклад, нехай площину перетинає площину і - пряма перетину площини з площиною, що проходить через центр проектування і паралельній площині. Тоді, в залежності від розташування в площині відносно прямої. проекцією з центру на площину можуть бути:
- для відрізка - відрізок, промінь, два променя;
- для променя - промінь або два променя;
- для кола - еліпс, парабола або гіпербола.
Таким чином, багато властивостей фігур не зберігаються при центральному проектуванні.
Які ж властивості фігур будуть зберігатися при центральному проектуванні? Завдання вивчення таких властивостей, що привертала увагу багатьох геометрів, привела до розвитку проективної геометрії.
Розглянемо випадок центрального проектування площині на площину з точки. що не належить цим площинах. Це проектування не є відображенням в. так як для точки такий, що немає способу; такі точки на утворюють пряму. де і .
Так само не всі точки площини будуть служити образами; такі точки утворюють пряму. де і .
Для кожної точки прямої площині в площині однозначно визначається сімейство прямих паралельних прямої.
Аналогічно, для кожної точки прямої площині однозначно визначається сімейство прямих паралельних прямої.
До кожного сімейства паралельних прямих площин і приєднаємо деякі об'єкти, які будемо називати невласними точками і позначати.
Безлічі і назвемо розширеними площинами. а кожну пряму з приєднаною до неї невласною точкою - - розширеної прямої.
На розширеній площині:
1. Будь-які дві розширені прямі перетинаються.
2. Кожна пряма перетинається з безліччю всіх невласних точок в єдиній точці. Тому природно назвати невласною прямий.
3. Через дві точки розширеної площині проходить єдина пряма.
Поняття розширеної площини можна узагальнити на випадок простору. Всім паралельним між собою прямим простору приєднується одна загальна невласна точка. Отримуємо розширене простір.
Безліч невласних точок, приєднаних до прямих, паралельних деякій площині, назвемо невласною прямий. яка є спільною для всіх площин, паралельних згаданої площині.
Безліч всіх невласних точок розширеного простору назвемо невласною площиною.
Розглянемо відповідність між розширеними площинами і по закону:
1. Власної точці. що не належить прямій відповідає точка.
2. Власної точці. що належить прямій відповідає точка. приєднана до сімейства прямих площині. паралельних прямої.
3. невласними точці. приєднаної до сімейства паралельних прямих, що не містить пряму. відповідає точка. така, що паралельна прямим сімейства, до якого приєднана точка.
4. невласними точці. приєднаної до сімейства прямих, паралельних прямій відповідає невласна точка, приєднана до сімейства прямих, паралельних прямій площині.
Це відповідність є біекція і називається перспективним відображенням розширеної плоскостіна розширену площину. Звуження цього відображення на безліч точок розширеної прямої площині природно назвати перспективним відображенням розширеної прямойна розширену пряму.
Історично склалося так, що розширене простір назвали проективним простором. розширену площину - проективної площиною. розширену пряму - проективної прямої.
Властивості фігури, які зберігаються при всіх перспективних відображеннях, є проективними властивостями.
Проективна геометрія вивчає проектні властивості фігур проектованого простору.
При перспективному відображенні невласні точки можуть відображатися у власні і навпаки, невласна пряма - в розширену пряму і навпаки. Таким чином, невласна точка, невласна пряма не є проективними поняттями, тому, з точки зору проективної геометрії, всі крапки проектованого простору є рівноправними, то ж відноситься до прямих і площин.