Існує разюча можливість опанувати предметом математично, не розуміючи суті справи.
А. Ейнштейн
Експеримент залишається назавжди.
П. Л. Капіца
Тисячі років люди спостерігають вічно мінливе протягом води і намагаються розгадати її таємницю. Першокласні фізики і математики ламали і продовжують ламати голови, намагаючись зрозуміти природу і примхлива поведінку потоку води. Але вступивши в XXI століття, ми з жалем мусимо констатувати, що з кінця XIX століття - часу найвищого розквіту науки про рух суцільних середовищ (гідродинаміки в разі рідини і аеродинаміки в разі газу) - ми дуже мало просунулися в розумінні природи цього вічно мінливого течії. Всі основні закони руху рідини (для стислості всюди буде говоритися про рідини, хоча, за деякими винятками, ті ж закономірності властиві й газу) були відкриті до першої половини XIX століття. Перерахуємо їх.
Сталість потоку маси рідини
Його ще називають законом нерозривності, законом безперервності, рівнянням суцільності рідини або законом збереження речовини в гідродинаміки. По суті, цей закон був відкритий Б. Кастеллі в 1628 році. Він встановив, що швидкість течії рідини в трубах обернено пропорційна площі їх поперечного перерізу. Іншими словами, чим уже перетин каналу, тим з більшою швидкістю рухається в ньому рідина.
в'язкість рідини
І. Ньютон (кінець XVII століття) експериментально встановив, що будь-якої рідини властива в'язкість, тобто внутрішнє тертя. В'язкість призводить до виникнення сил тертя між рухомими з різними швидкостями шарами рідини, а також між рідиною і омиваним нею тілом. Їм же було встановлено, що сила тертя пропорційна коефіцієнту в'язкості рідини і градієнту (перепаду) швидкості потоку в напрямку, перпендикулярному його руху. Рідини, що підкоряються цим законом, називають ньютоновскими на відміну від неньютоновскіх рідин, у яких залежність між силою в'язкого тертя і швидкістю рідини має більш складний характер.
В силу в'язкого тертя швидкість рідини на поверхні омиваного нею тіла завжди дорівнює нулю. Це зовсім не очевидно, але тим не менше підтверджується в безлічі експериментів.
Досвід. Переконаємося, що швидкість газу на поверхні обдуваемого їм тіла дорівнює нулю.
Візьмемо вентилятор і припудрити його лопаті пилом. Включимо вентилятор в мережу і через кілька хвилин вимкнемо. Пил на лопатях як була, так і залишилася, хоча вентилятор обертався з досить великою швидкістю і вона повинна була б злетіти.
Омиваючи лопаті вентилятора з великою швидкістю, потік повітря на їх поверхні має нульову швидкість, тобто нерухомий. Тому пил на них і залишається. З цієї ж причини з гладкої поверхні столу легко можна здути крихти, а пил доводиться витирати.
Зміна тиску рідини в залежності від швидкості її руху.
Д. Бернуллі в своїй книзі "Гідродинаміка" (1738) отримав для ідеальної рідини, що не володіє в'язкістю, математичне формулювання закону збереження енергії в рідині, який носить тепер назву рівняння Бернуллі. Воно пов'язує тиск в потоці рідини з її швидкістю і стверджує, що тиск рідини при її русі менше там, де перетин потоку S менше, а швидкість рідини відповідно більше. Уздовж трубки струму, яку можна подумки виділити в спокійному безвихрових потоці, сума статичного тиску. динамічного ρV 2/2, викликаного рухом рідини щільністю ρ, і тиску ρgh стовпа рідини висотою h залишається незмінною:
Це рівняння грає фундаментальну роль в гідродинаміці, незважаючи на те, що воно, строго кажучи, справедливо тільки для ідеальної, тобто не має в'язкості, рідини.
Досвід 1. Переконаємося, що чим вище швидкість повітря, тим менше тиск в ньому.
Запалимо свічку і через тонку трубочку, наприклад для коктейлю, сильно Дунем в неї так, щоб цівка повітря пройшла приблизно на відстані 2 см від полум'я. Полум'я свічки відхилиться у напрямку до трубочки, хоча на перший погляд здається, що повітря повинне якщо і не задути його, то принаймні відхилити в протилежну сторону.
Лабораторний водоструминний насос. У струмені води з крана створюється розрідження, яке викачує повітря з колби.
Чому? Відповідно до рівняння Бернуллі, чим вище швидкість потоку, тим менше тиск в ньому. Повітря виходить з трубочки з великою швидкістю, так що тиск в струмені повітря менше, ніж в навколишньому свічку нерухомому повітрі. Перепад тиску при цьому спрямований в бік виходить з трубочки повітря, що і відхиляє до неї полум'я свічки.
Принцип роботи пульверизатора: атмосферний тиск вичавлює рідину в струмінь повітря, де тиск нижче.
На цьому принципі працюють пульверизатори, струменеві насоси і автомобільні карбюратори: рідина втягується в потік повітря, тиск в якому нижче атмосферного.
Дослід 2. Візьмемо лист паперу за верхні краї, піднесемо його до стіни і утримаємо на відстані приблизно 3-5 см від стіни. Поду в проміжок між стіною і листом. Замість того, щоб відхилитися від стінки, лист притискається до неї за рахунок сили, яку може створювати тільки виник перепад тиску, спрямований до стіни. Значить, тиск в струмені повітря між листом і стіною менше, ніж в нерухомому повітрі зовні. Чим сильніше дути в проміжок, тим щільніше буде притискатися листок до стіни.
Рівняння Бернуллі пояснює також класичний досвід з трубою змінного перерізу. В силу закону нерозривності для збереження потоку маси рідини в звуженої частини труби її швидкість повинна бути вище, ніж в широкій. Отже, тиск вище там, де труба ширше, і нижче там, де вона вже. На цьому принципі працює пристрій для вимірювання швидкості або витрати рідини - трубка Вентурі.
Опір, що випробовується тілом під час руху в рідині
Існування опору середовища було виявлено ще Леонардо да Вінчі в XV столітті. Думка. що опір рідини руху тіла пропорційно швидкості тіла, вперше висловив англійський учений Дж. Вілліс. Ньютон у другому виданні своєї знаменитої книги "Математичні початки натуральної філософії" встановив, що опір складається з двох членів, одного - пропорційного квадрату швидкості та іншого - пропорційного швидкості. Там же Ньютон сформулював теорему про пропорційність опору максимальної площі перетину тіла, перпендикулярного напрямку потоку. Силу опору тіла, повільно рухається в в'язкої рідини, розрахував в 1851 році Дж. Стокс. Вона виявилася пропорційною коефіцієнту в'язкості рідини, першого ступеня швидкості тіла і його лінійними розмірами.
Необхідно відзначити, що опір рідини рухається в ньому тілу в значній мірі обумовлюється саме наявністю в'язкості. В ідеальній рідині, в якій в'язкість відсутня, опір взагалі не виникає.
Досвід 1. Подивимося, як виникає опір рухається в рідині тіла. Хоча в досвіді тіло нерухомо, а рухається повітря, результату це не змінює. Яка різниця, що рухається - тіло в повітрі або повітря відносно нерухомого тіла?
Візьмемо свічку і коробок сірників. Запалимо свічку, поставимо перед нею на відстані приблизно 3 см коробок і сильно Дунем на нього. Полум'я свічки відхиляється до коробку. Це означає, що позаду коробка тиск стало менше, ніж позаду свічки, і різниця тисків спрямована по руху потоку повітря. Отже, тіло при русі в повітрі або рідини відчуває гальмування.
Потік повітря набігає на передню поверхню коробка, огинає його по краях і не змикається позаду, а відривається від перешкоди. Оскільки тиск повітря менше там, де його швидкість вище, тиск по краях коробка менше, ніж позаду нього, де повітря нерухомий. Позаду коробка виникає різниця тисків, спрямована від центру до його країв. В результаті повітря за коробкою спрямовується до його краях, утворюючи завихрення, що і призводить до зменшення тиску.
Опір залежить від швидкості руху тіла в рідині, властивостей рідини, форми тіла і його розмірів. Важливу роль у створенні опору грає форма задньої сторони тіла, що рухається. Позаду плоского тіла виникає знижений тиск, тому опір можна зменшити, запобігши зрив потоку. Для цього тіла надають обтічну форму. Потік плавно огинає тіло і змикається безпосередньо за ним, не створюючи області зниженого тиску.
Досвід 2. Щоб продемонструвати різний характер обтікання, а отже, і опираючись ня тіл різної форми, візьмемо кулю, наприклад м'яч для пінг-понгу або тенісу, приклеїмо до нього паперовий конус і поставимо за ним запалену свічку.
Повернемо тіло кулькою до себе і поду на нього. Полум'я відхилиться від тіла. Тепер повернемо тіло до себе гострим кінцем і знову поду. Полум'я відхиляється до тіла. Цей досвід показує, що форма задньої поверхні тіла визначає напрямок перепаду тиску позаду неї, а отже. і опір тіла в потоці повітря.
У першому досвіді полум'я відхиляється від тіла; це означає, що перепад тиску спрямований по потоку. Струмінь повітря плавно обтікає тіло, змикається за ним і далі рухається звичайним струменем, яка відхиляє полум'я свічки назад і може навіть задути його. У другому досвіді полум'я відхиляється до тіла - як і в експерименті з коробкою, позаду тіла створюється розрідження, перепад тиску спрямований проти потоку. Отже, в першому досвіді опір тіла менше, ніж у другому.
Падіння тиску в в'язкої рідини при її русі в трубі постійного перетину
Досвід показує, що тиск в рідині, що тече по трубі постійного перетину, падає уздовж труби за течією: чим далі від початку труби, тим воно нижче. Чим вже труба, тим сильніше падає тиск. Це пояснюється наявністю в'язкої сили тертя між потоком рідини і стінками труби.
Досвід. Візьмемо гумову або пластикову трубку постійного перетину і такого діаметру, щоб її можна було насадити на носик водопровідного крана. Зробимо в трубці два отвори і відкриємо воду. З отворів почнуть бити фонтанчики, причому висота ближнього до крану фонтанчика буде помітно вище, ніж розташованого далі по потоку. Це показує, що тиск води в найближчому до крану отворі вище, ніж в далекому: воно падає уздовж труби в напрямку потоку.
На перший погляд наведене пояснення задовільно. Однак виникають питання, відповіді на які поки немає.
1. Відповідно до рівняння Бернуллі, зменшення тиску в рідині при її русі вздовж труби повинно означати, що швидкість її, навпаки, повинна зростати уздовж потоку, тобто протягом рідини має прискорюватися. Але цього не може бути в силу закону нерозривності.
2. Сили тертя між стінками труби і рідиною повинні в принципі гальмувати її. Якщо це так, то при гальмуванні швидкість рідини уздовж каналу повинна падати, що в свою чергу призведе до зростання тиску в ній по потоку. Однак зовнішній тиск, прокачувати рідину по трубі, компенсує сили тертя, змушуючи рідина текти рівномірно з однаковою по всьому каналу швидкістю. А раз так, то і тиск рідини уздовж каналу має бути скрізь однаковим.
Отже, в наявності експериментальний факт, який легко перевірити, однак пояснення його залишається відкритим.
ефект Магнуса
Йдеться про виникнення сили, перпендикулярної потоку рідини при обтіканні нею тіла, що обертається. Цей ефект був виявлений і пояснений Г. Г. Магнусом (близько середини XIX століття) при вивченні польоту обертових артилерійських снарядів та їх відхилення від мети. Ефект Магнуса полягає в наступному. При обертанні летить тіла прилеглі шари рідини (повітря) захоплюються їм і також отримують обертання навколо тіла, тобто починають циркулювати навколо нього. Зустрічний потік розтинають тілом на дві частини. Одна частина направлена в ту ж сторону, що і циркулює навколо тіла потік; при цьому відбувається складання швидкостей набігаючого і циркулюючого потоків, значить, тиск в цій частині потоку зменшується. Інша частина потоку направлена в сторону, протилежну циркуляції, і тут результуюча швидкість потоку падає, що призводить до збільшення тиску. Різниця тисків по обидва боки тіла, що обертається і створює силу, яка перпендикулярна до напрямку зустрічного, набігаючого потоку рідини (повітря).
Досвід. Склеїмо з листа щільного паперу циліндр. З дошки, покладеної одним краєм на стопку книг, зробимо на столі похилу площину і покладемо на неї циліндр. Скотившись, він начебто повинен далі рухатися по параболі і впасти далі від краю. Однак всупереч очікуваному траєкторія його руху загинається в іншу сторону, і циліндр залітає під стіл. Вся справа в тому, що він не просто падає, а ще й обертається, створюючи навколо себе циркуляцію повітря. Виникає надлишковий тиск, спрямований у бік, протилежний поступального руху циліндра.
Ефект Магнуса дозволяє гравцям в пінг-понг і теніс відбивати "кручені" м'ячі, а футболістам - посилати "сухий лист", б'ючи м'яч по краю.
Ламінарний і турбулентний потоки
Досвід виявляє дві абсолютно різні картини руху рідини. При низьких швидкостях спостерігається спокійне, шаруваті течія, яка називається ламінарним. При великих швидкостях протягом стає хаотичним, частинки і окремі області рідини рухаються безладно, закручуючись в вихори; такий перебіг називається турбулентним. Перехід від ламінарного течії до турбулентного і назад здійснюється при певній швидкості рідини і залежить також від в'язкості і щільності рідини і характерного розміру обтічного рідиною тіла. До сих пір не ясно, чи виникають вихори з самого початку і мають просто дуже малі розміри, не видимі нами, або вихори виникають починаючи з деякої швидкості руху рідини.
Досвід. Подивимося, як відбувається перехід ламінарного потоку в турбулентний. Відкриємо кран і пустимо воду спочатку тоненькою цівкою, а потім все сильніше і сильніше (звичайно, так, щоб не затопити сусідів). Тоненька цівка рухається плавно і спокійно. У міру того, як збільшується натиск води, швидкість струменя зростає, і, починаючи з деякого моменту, вода в ній починає закручуватися - виникають вихори. З'являючись спочатку тільки в обмеженій області струменя, з ростом напору вихори в кінці кінців охоплюють всі течія - воно стає турбулентним.
Струмінь води падає в поле тяжіння, відчуваючи прискорення. Як тільки швидкість течії зростає настільки, що число Рейнольдса перевищує критичне значення, ламінарний плин (вгорі) переходить в турбулентний. Для даної течії Re »2300.