Частота відповіді
Проста заміна z на, де - нормована частота, дозволяє отримати дискретне перетворення Фур'є (ДПФ) для визначеного нижче по (7.22) імпульсного відгуку, т. Е. Отримати по передавальної функції частотний відгук лінійного фільтра.
Щоб показати це, розділимо спочатку в (7.8) на:
Відзначимо, що тут тільки для позитивних, оскільки тільки для позитивних. Таким чином, будь-який каузальний рекурсивний фільтр еквівалентний каузальному нерекурсівние фільтру нескінченної довжини. З (7.3) і (7.9)
Співвідношення (7.10) також описує каузальний лінійний фільтр.
Для знаходження частотного відгуку фільтра, заданого в (7.10) безліччю коефіцієнтів припустимо, що є безліччю відліків синусоїди з одиничною амплітудою і деякою заданою частотою, і потім обчислимо При цьому
Тоді в (7.10) маємо
Оскільки для отримання синусоїди синусоїда множиться на величину, що стоїть в дужках, ця величина повинна бути частотним відгуком фільтра, т. Е. Визначати коефіцієнт передачі і фазовий зсув на частоті.
Але величину, що стоїть в дужках, можна отримати підстановкою в (7.8) або (7.9) і замість. Тому для будь-якого лінійного фільтра типу фільтра, представленого на рис. 5.2, імем
З (7.13) видно, що частотний відгук є періодичною функцією, оскільки не змінюється при збільшенні на будь-яку величину, кратну. Більш того, якщо замість підставити то
Оскільки коефіцієнти є дійсними числами, маємо
Тому передавальна функція визначається тільки для. Ця частотна область називається інтервалом Найквиста, причому частота називається центральною частотою, а частота відліків.
При необхідності записи в (7.11) у вигляді функції часу, а не у вигляді залежності від номера відліку k вважаємо
де Q - частота, рад / Гц; f - частота, Гц; - часовий крок (інтервал між відліками), з, так що в показнику експоненти з'являється величина. Далі, на частоті або 1/27 Гц, знаходиться центральна частота, рівна половині частоти відліку.
Конкретний приклад частотного відгуку наведено на рис. 7.3. Тут передавальна функція
Частота відповіді в цьому випадку
Амплітуда і фаза частотного відгуку називаються коефіцієнтом передачі по амплітуді і фазовим зрушенням фільтра. З (7.18) маємо
Мал. 7.3. Приклад частотного відгуку цифрового фільтра: а) схема фільтра; б) частотний відгук; в) полюса і нулі на z-площині
Для даного прикладу на рис. 7.3 побудовані залежності коефіцієнта передачі по амплітуді і фазового зсуву. Крім коефіцієнта передачі по амплітуді застосовують коефіцієнт передачі за проектною потужністю, що дорівнює квадрату коефіцієнта передачі по амплітуді і іноді задається в децибелах. Таким чином,
На рис. 7.3 також показано вплив полюсів і нулів функції на коефіцієнт передачі і фазовий зсув. Для отримання частотного відгуку в (7.13) прийнято і тому при зміні від 0 до центральної частоти змінна z здійснює рух по верхній половині кола одиничного радіуса на z-площині. Коли зі приймає таке значення, що 2 знаходиться близько полюса, коефіцієнт передачі є великим, як це має місце при на рис. 7.3. При проходженні 2 поблизу або через полюс або нуль на окружності одиничного радіуса фазова характеристика, як показано на рис. 7.3, різанні змінюється.