1) Для знаходження Мо НСВ необхідно перевірити критичну точку функції щільності розподілу (якщо така є) на максимум і приналежність відповідному проміжку на якому f (x) задається. Можливо, що мода буде одним з кінців відрізка або її взагалі не буде.
2) Медіана знаходиться з умови. Вирішивши дане рівняння, необхідно перевірити приналежність отриманого рішення відповідного проміжку.
3). Математичне сподівання НСВ зберігає всі властивості математичного очікування ДСВ.
4). Дисперсія НСВ зберігає всі властивості дисперсії ДСВ.
6) Початковим моментом k-го порядку випадкової величини Х називається математичне сподівання k-го ступеня випадкової величини: # 957; k = M (X k). Перший початковий момент - це математичне сподівання випадкової величини.
При певних припущеннях щодо випадкової величини за початковими моментів можна відновити функцію розподілу СВ.
7) Центральним моментом k-го порядку випадкової величини Х називається математичне сподівання k-го ступеня відхилення випадкової величини від свого математичного очікування: # 956; k =. Дисперсія випадкової величини - це другий центральний момент випадкової величини.
Закони розподілу НСВ.
Нормальне (Гаусове) розподілу було відкрито трьома вченими в різний час: Муавром в 1737 р в Англії, Гауссом в 1809 р в Німеччині і Лапласом в 1812 році у Франції.
Воно виникає зазвичай, коли СВ Х являє собою суму великого числа незалежних СВ, кожна з яких в освіті суми грає незначну роль.
Нормальний розподіл є граничним випадком майже всіх реальних розподілів ймовірності. Воно широко використовується в математичній статистиці, зокрема, в моделях регресії часто помилка приймається розподіленої за цим законом; передумова про нормальний розподіл враховується і в більшості критеріїв статистичної перевірки гіпотез.
Багато економічні показники мають близький до нормального закон розподілу. Наприклад, дохід населення, прибуток фірм в галузі, обсяг споживання і т.д. мають близьке до нормального розподіл. Однак саме нормальний розподіл в економіці не використовується, воно має суто математичний інтерес.
Кажуть, що СВ має нормальний розподіл, якщо функція щільності ймовірності має вигляд:. де МХ = а - параметр розташування, # 963;> 0 - параметр масштабу. чим менше # 963 ;, тим крутіше графік.
Функція розподілу - функція інтеграла Лапласа.
Графік щільності ймовірності нормально розподіленої випадкової величини називають наметом Ейлера.
Якщо а = 0 і # 963; = 1. то кажуть про стандартизований нормальний розподіл з щільністю розподілу. Ця функція парна і табульований.
Функція розподілу також табульованих і має такі властивості:
Для розрахунку ймовірності попадання нормально розподіленої випадкової величини в проміжок від # 945; до # 946; використовується формула:. Цю формулу іноді називають інтегральної теореми Лапласа.
Зокрема, для симетричного щодо математичного очікування проміжку (МХ- # 916;, МХ + # 916;) можна використовувати формулу.
З ймовірністю, дуже близькою до одиниці, всі можливі значення нормально розподіленої випадкової величини зосереджені на відрізку [а-3 # 963 ;; а + 3 # 963;]. Це так зване правило трьох сигм. Якщо випадкова величина розподілена нормально, то абсолютна величина її відхилення від математичного сподівання не перевершує потроєного середнього квадратичного відхилення.
Локальна теорема Муавра-Лапласа. При р ≠ 0 і р ≠ 1 і досить великому n біноміальний розподіл близько до нормального закону, причому їх математичні очікування і дисперсії співпадають, тобто має місце рівність:
Числові характеристики. Мо = а