?-функція - це узагальнена функція, формально визначається як безперервний лінійний функціонал в просторі диференційовних функцій. -функція не є функцією в класичному розумінні.
Введена англійським фізиком Дираком. Дозволяє записати просторову щільність фізичної величини (маса, заряд, інтенсивність джерела тепла, сила і т. П.), Зосередженої або доданої в одній точці. Наприклад, щільність точкової маси m, що знаходиться в точці a евклідового простору. Записується за допомогою? -функції в вигляді.
?-функція визначається формальним співвідношенням
для будь-якої неперервної функції.
Для дельта-функції однієї змінної вірні такі рівності:
У багатьох випадках зручним виявляється таке уявлення дельта-функції:
Розглянемо інтеграл
який можна інтерпретувати як межу
В силу (3) для будь-якого справедливо рівність:
Можна показати, що при необмеженій зростанні виявляються вірними все властивості дельта-функції і функції (2) направляється в; Це дозволяє зробити висновок, що:
.
Фундаментальний вираз, що описує похідну дельта-функції. (X):
.
Підставивши. Отримаємо вираз:
.
Після перетворення маємо:
.
Оскільки. Отримуємо остаточне вираз
.
У загальному вигляді вираз похідної дельта-функції записується так:
.
Для похідною дельта-функції вірні такі тотожності:
;
;
.
До початку координат x (t) =. (T) можна застосувати перетворення Фур'є:
в результаті виходить, що спектр? -функції є константою: F (?) = 1.
Доведено, що похідна функції Хевісайда дорівнює дельта-функції. Тобто функція показано вище функції:
.
Отже, застосувавши перетворення Фур'є до дельта-функції
.
отримаємо її образ у вигляді:
.
У двовимірному просторі:
;
.
У полярних координатах:
.
У тривимірному просторі:
;
.
В циліндричній системі:
.
У сферичній системі координат:
.
миттєве прискорення
Прикладом застосування дельта-функції Дірака може служити задача про зіткнення двох тіл. Якщо на ударі налітає інше, то обидва тіла отримують прискорення і швидкість. Як розрахувати прискорення, набуте тілом? Побудуємо графік швидкості від часу. Графік матиме вигляд, показаний на верхньому малюнку праворуч. На нижньому малюнку наведено графік дельта-функції з одиничною амплітудою, він відображає миттєвий процес набору швидкості тілом.
Беручи до уваги те, що модель розглядається в евклідовому просторі, можна записати наступне рівняння:
функція Гріна
Інші приклади Дельта-функція застосовується в математичній фізиці при вирішенні завдань, в які входять зосереджені величини. У квазікласичному хвильові функції локалізуються в дельта-функції, а центри їх зосередження рухаються по класичним траєкторіях по рівняннях Ньютона. Через дельта-функцію, також записи функція Гріна лінійного оператора L, чинного на узагальнені функції над різноманіттям M в точці x 0. Рівняння має вигляд.
де - Оператор Лапласа.
Важливо відзначити наступну формулу
.
Цей вислів випливає з того, що поводиться подібно дельта-функції. Цей факт використовується для доказу того, що вираз для скалярного потенціалу:
задовольняє рівняння Пуассона:
.
Таким чином, дельта-функція є потужним математичним апаратом для опису складних фізичних процесів.