Поздовжні хвилі можуть поширюватися як в твердих тілах, так і в рідинах або газах. Приклад поздовжніх хвиль - звукові хвилі в рідинах і газах. Вони являють собою коливання тиску, що поширюються в цих середовищах.
Хвильовий процес. Поняття хвильового фронту.
МЕХАНІЧНІ ХВИЛІ В пружного середовища
Тіло, що коливається в пружною середовищі, періодично впливає на прилеглі до нього частинки середовища, виводячи їх з положень одно-весия і змушуючи здійснювати вимушені коливання, що обурюють частки середовища. .
Механічні обурення (деформації), що поширюються в пружному середовищі, називаються пружними хвилями.
Геометричне місце точок середовища, в яких фаза коливань частинок однакова, називається хвильовим фронтом або хвильової поверхнею. Наприклад, існують сферичні хвилі, які виходять від точкового джерела коливань, хвильова поверхня яких представляє собою сферу.
Пружна хвиля називається поздовжньою. якщо коливання частинок середовища відбуваються в напрямку поширення хвилі. Якщо ж частинки середовища коливаються в площинах, перпендикулярних до напрямку поширення хвилі, то така хвиля називається поперечною.
Поперечні хвилі можуть виникати тільки в такому середовищі, яка володіє пружністю форми, т. Е. Здатна чинити опір деформації зсуву. Тому поперечні хвилі можуть існувати лише у твердих тілах. Такі, наприклад, хвилі, що поширюються уздовж струн музичних інструментів.
На відміну від інших видів механічного руху середовища (наприклад, її течії) поширення пружних хвиль в середовищі не пов'язане з перенесенням речовини.
Частинки, віддалені один від одного на відстані uT (u # 8209; швидкість поширення, T - період коливань), коливаються в однаковій фазі. Відстань між найближчими частинками, що коливаються в однаковій фазі, називається довжиною хвилі l.
де n # 8209; частота коливань.
Розглянемо поширення поздовжньої хвилі в тонкому пружному стрижні, яка створюється джерелом коливань, розташованому в деякій точці простору (x = 0). Виділимо обсяг стрижня довжиною # 916; x (рис.9.1) .. Під дією пружних сил, що виникають в точках x і x + # 916; x, рассматріваемийоб'ембудет відчувати деформації розтягування і стиснення.
Нехай s - пружне зміщення кордонів виділеного обсягу від положень рівноваги. Застосування до даного обсягу закону руху центру мас призводить до диференціальних рівнянь
де t-час, # 961; щільність матеріалу стержня, E - модуль Юнга.
Рівняння (9.1) називається диференціальним хвильовим рівнянням, котороезапісано в одновимірному вигляді.
Рішення рівняння (9.1) для хвилі, що розповсюджується в напрямку осі x. має вигляд:
де A - амплітуда коливань частинок середовища (амплітуда хвилі); w - циклічна частота коливань джерела, яка дорівнює частоті коливань частинок середовища, викликаних хвилею.
Можна показати, що дане рівняння має загальний характер. У тривимірному вигляді хвильове рівняння має наступний вигляд:
де Ñ 2 # 8209; оператор Лапласа:
Рішенням цього рівняння є зміщення s частинок середовища від положень рівноваги, як функція координат і часу. s = s (x, y, z. t).
Визначимо сенс величини u в рівняннях (9.2) і (9.3), що має розмірність швидкості. Зафіксуємо якесь значення фази, в рівнянні (9.2), поклавши
Вираз (9.4) описує поширення хвильового фронту. Продифференцировав (9.4), отримаємо
Швидкість поширення хвилі u в наведених вище рівняннях є швидкість переміщення фази, тому цю швидкість називають фазовою швидкістю.
З рівняння (9.1) слід
Т.е.фазовая швидкість поздовжніх хвиль в твердих тілах залежить від модуля Юнга E і щільності середовища r.
Можна показати, що швидкість поперечних хвиль визначається модулем зсуву:
Швидкість хвиль в ідеальному газі для адіабатичного процесу поширення залежить від абсолютної температури:
де # 947; - показник адіабати (відношення ізобарно і ізохорно теплоемкостей газу, # 947; = сp / СV), R - універсальна газова стала, T - абсолютна температура, # 956; - молярна маса газу.
Функція (9.2) описує плоску хвилю, так як хвильовий фронт являє собою площину.
Рівняння плоскої хвилі можна уявити в симетричному вигляді щодо t і х. Для цього вводиться поняття хвильового числа k:
Використовуючи (9.7), отримаємо вираз для швидкості u:
Тоді рівняння хвилі описується співвідношенням
Якщо хвилю розглядати на відстані значно більшому, ніж розміри джерела, то джерело можна вважати точковим. В цьому випадку в ізотропному середовищі хвиля буде сферичної. Таку хвилю описує рішення диференціального рівняння (9.3), представлене в сферичних координатах. Рівняння сферичної хвилі має вигляд:
З (9.9) видно, що амплітуда сферичної хвилі змінюється обернено пропорційно відстані від хвильового фронту до джерела.
Залежність амплітуди хвилі від відстані обумовлено тим, що в міру віддалення фронту хвилі від джерела за рівні проміжки часу в коливальний рух втягуються все зростаючі обсяги середовища.