на траєкторії до початку координат не збільшується, тобто все траєкторії, що визначаються приватними рішеннями, близькими до в початковий момент, залишаються близькими до початку координат і з ростом. Це за визначенням означає, що тривіальне рішення стійко.
Якщо, то відстань з ростом збільшується, отже, нульовий розв'язок нестійкий.
Функція в цих міркуваннях може бути замінена на більш зручну в обчисленнях функцію.
ПРИКЛАД. Дослідити на стійкість нульове рішення системи диференціальних рівнянь.
Нехай. Знайдемо похідну цієї функції вздовж траєкторій системи:
Таким чином, - незростаюча функція, тобто точки на довільній траєкторії сайту не видаляються від початку координат, тому тривіальне рішення системи стійко, а, значить, стійкі всі рішення цієї системи.
Відзначимо, що з нерівності випливає, що - монотонна функція. Але точка спокою може бути стійкою і при немонотонному наближенні до неї траєкторій, відповідних довільним рішенням (центр або стійкий фокус (рис. 13, 14)). Тому в якості функцій, за допомогою яких досліджується стійкість, Ляпунов розглянув функції, деякі властивості яких схожі з властивостями відстані, але самі вони відстанями не є.
ОПРЕДЕЛЕНІЕ.Проізводной функції в силу системи (12.1) називається повна похідна.
Розглянемо автономну систему
Будемо вважати, що для такої системи функція не залежить від часу і її похідна в силу системи (12.12) має вигляд:.
ВИЗНАЧЕННЯ. Функція називається позитивно (негативно) певною в деякій -окрестності початку координат, якщо всюди в цій околиці і тільки. Позитивно чи негативно певні функції називаються знакоопределеннимі.
Нагадаємо, що -окрестностью початку координат називається безліч точок, яке визначається нерівністю. Якщо, то це коло радіуса з центром в початку координат, якщо - то куля радіуса.
Приклади. а) усюди, крім початку координат, а. Звідси - позитивно певна функція.
б), причому. Значить, за визначенням - позитивно певна функція.
Але, тому позитивно певної функцією не є: вона дорівнює нулю не тільки на початку координат.
ВИЗНАЧЕННЯ. Функція називається неотрицательной (непозитивно) в деякій -окрестності початку координат, якщо всюди в цій околиці, причому не тільки при. Невід'ємні або недодатні функції називаються знакопостоянного.
ПРИКЛАД. Функція є за визначенням неотрицательной.
За визначенням функція не є ні знакоопределенной, ні знакопостоянного.
ВИЗНАЧЕННЯ. Функція називається функцією Ляпунова автономної системи (12.12), якщо
1) диференційована в деякому околі початку координат;
2) позитивно визначена (негативно визначена) в цій околиці;
3) її похідна в силу системи (12.12) усюди в цій околиці.
Розглянемо систему (12.12) і будемо вважати, що вона має тривіальне рішення, тобто.
ТЕОРЕМА (Ляпунова про стійкість). Нехай існує диференційована функція, знакоопределенная в деякому околі початку координат, похідна якої в силу системи (12.12) знакопостоянна в цій околиці і протилежної з знака або тотожно рівна нулю. Тоді тривіальне рішення системи (12.12) стійко.
ДОВЕДЕННЯ. Нехай функція диференційована і позитивно визначена в деякій -окрестності початку координат, а її похідна в силу системи (12.12) або. задамо