Теорема зсуву є теоремою двоїстості для теореми зсуву. У цих теоремах операції в області оригіналів та зображень помінялися місцями.
Приклад 3. Знайдемо зображення гратчастої функції f [n] = e l n sh an
Скориставшись зображенням sh an, отримуємо на підставі теореми зміщення:
Теорема 3. Зображення різниць.
Для першої різниці гратчастої функції
на підставі теорем лінійності і зсуву отримуємо
D = (e q - 1) F * (q) - e q f [0] (3.15)
Для другої різниці гратчастої функції
Δ 2 f [n] = Δf [n + 1] - Δf [n]
На підставі теореми зсуву і співвідношення (3.15) після перетворення отримуємо
D = (e q - 1) 2 F * (q) - e q (e q -1) f [0] - e q Δf [0] (3.16)
Для k-ой різниці гратчастої функції виходить такий вираз:
D<Δ k f[n]> = (E q - 1) k F * (q) + e q Σ (e q - 1) k -1- r Δ r f [0] (3.17) r = 1
Тут потрібно вважати Δ 0 f [0] = f [0].
Приклад 4. Знайдемо зображення першої різниці експоненційної гратчастої функції f [n] = e a n. За формулою (3.15) отримуємо:
e q - e a e q - e a
Теорема 4. Зображення суми
Розглянемо функцію, що визначає суму гратчастої функції:
Зображення різниці функції f [n] відповідно до попередньої теоремою одно:
так як значення суми при n = 0 дорівнює нулю. Отже, зображення від суми гратчастої функції f [m] визначається як
Приклад 5. Знайдемо оригінал, відповідний зображенню
Мал. 3.4. Гратчаста функція в прикладі 5.
Приклади застосування теорем про зображення різниць і сум показують, що множник (е q - 1) в дискретному перетворенні Лапласа грає роль параметра преобразованіяqіліsв звичайному перетворенні Лапласа, і встановлюють зв'язок формального операторного методу в теорії різницевих рівнянь з дискретним перетворенням Лапласа.
Ці властивості поряд з теоремою зсуву лежать в основі методу вирішення лінійних різницевих рівнянь.
Теорема 5. Множення зображень (теорема згортання у речовій області).
Ця теорема є однією з найбільш важливих для додатків теорем. Вона дає можливість знайти оригінал твору зображень, якщо відомі оригінали сомножителей.
Провівши множення рядів в правій частині рівності при Re q> sc. де sc - найбільша з абсцис збіжності, отримаємо:
так як при n Згідно з визначенням D-перетворення отримуємо Ці формули називаються формулами згортання у речовій області. Теорема 6. Кінцеве значення гратчастої функції (теорема про кінцевий значенні). Теорема встановлює співвідношення між зображенням і кінцевим значенням гратчастої функції. Для несмещенной гратчастої функції справедливо наступне співвідношення: lim f [n] = lim (e q - 1) F * (q). (3.20) аналогічно для зміщеною гратчастої функції: lim f [n, e] = lim (e q - 1) F * (q, e). (3.21) Теорема 7. Початкове значення гратчастої функції (теорема про початковому значенні). Для несмещенной гратчастої функції справедливо наступне співвідношення: f [0] = lim f [n] = lim (1 - e -q) F * (q) = lim F * (q), (3.22) аналогічне співвідношення для зміщеною гратчастої функції:Схожі статті