Вивчення теорії ймовірності починається з рішення задач на додавання і множення ймовірностей. Варто відразу згадати, що студент при освоєнні даної галузі знань може зіткнутися з проблемою: якщо фізичні або хімічні процеси можна уявити візуально і зрозуміти емпірично, то рівень математичної абстракції дуже високий, і розуміння тут приходить тільки з досвідом.
Однак це того варте, адже формули - як розглядаються в даній статті, так і більш складні - використовуються сьогодні повсюдно і цілком можуть стати в нагоді в роботі.
походження
Як не дивно, поштовхом до розвитку даного розділу математики стали ... азартні ігри. Дійсно, гра в кості, кидання монетки, покер, рулетка - це типові приклади, в яких використовуються додавання і множення ймовірностей. На прикладі задач в будь-якому підручнику це можна побачити наочно. Людям було цікаво дізнатися, як збільшити свої шанси на перемогу, і, треба сказати, деякі в цьому досягли успіху.
Втім, незважаючи на підвищений інтерес до предмету, тільки до XX століття була розроблена теоретична база, що робить «теорвер» повноцінною складовою математики. Сьогодні ж практично в будь-якій науці можна зустріти розрахунки, які використовують імовірнісні методи.
застосовність
Важливим моментом при використанні формул додавання і множення ймовірностей, умовної ймовірності є здійсненність центральної граничної теореми. В іншому випадку хоч це і може і не усвідомлювати студентом, всі обчислення, якими б правдоподібними вони не здавалися, будуть некоректними.
Так, у високомотивованого учня виникає спокуса використовувати нові знання при кожному зручному випадку. Але в даному випадку слід трохи пригальмувати і строго окреслити рамки застосовності.
Основні поняття
Під випадковою подією мається на увазі певний процес або результат, який може проявитися, а може і не проявитися в результаті експерименту. Наприклад, ми підкидаємо бутерброд - він може впасти маслом вгору або маслом вниз. Будь-який з двох випадків буде випадковим, і ми заздалегідь не знаємо, який із них буде мати місце.
Спільними називаються такі події, поява одного з яких не виключає появи іншого. Скажімо, дві людини одночасно стріляють по мішені. Якщо один з них зробить успішний постріл, це ніяк не відіб'ється на можливості другого потрапити в «яблучко» або промахнутися.
Несумісними будуть такі події, поява яких одночасно є неможливим. Наприклад, витягуючи з коробки тільки одну кульку, не можна дістати відразу і синій, і червоний.
позначення
Поняття ймовірності позначається латинською великою літерою P. Далі в дужках йдуть аргументи, що позначають деякі події.
У формулах теореми додавання, умовної ймовірності, теореми множення ви побачите в дужках виразу, наприклад: A + B, AB або A | B. Розраховуватися вони будуть різними способами, до них ми зараз і звернемося.
Розглянемо випадки, в яких використовуються формули додавання і множення ймовірностей.
Для несумісних подій актуальна найпростіша формула складання: ймовірність будь-якого з випадкових результатів дорівнюватиме сумі ймовірностей кожного з цих випадків.
У разі ж несумісних подій формула ускладнюється, оскільки додається додаткове доданок. Повернемося до нього через один абзац, після розгляду ще однієї формули.
Додавання і множення ймовірностей незалежних подій використовуються в різних випадках. Якщо за умовою експерименту нас влаштовує будь-який з двох можливих результатів, ми порахуємо суму; якщо ж ми хочемо отримати два деяких результату один за одним, ми вдамося до використання іншої формули.
Повертаючись до прикладу з попереднього розділу, ми хочемо витягти спочатку синя кулька, а потім - червоний. Перше число нам відомо - це 2/10. Що відбувається далі? Шаров залишається 9, червоних серед них все стільки ж - три штуки. Згідно з розрахунками вийде 3/9 або 1/3. Але що тепер робити з двома числами? Правильна відповідь - перемножать, щоб вийшло 2/30.
спільні події
Тепер можна знову звернутися до формули суми для спільних подій. Для чого ми відволікалися від теми? Щоб дізнатися, як перемножуються ймовірності. Зараз нам це знання стане в нагоді.
Припустимо, ми повинні вирішити будь-яку з двох завдань, щоб отримати залік. Першу ми можемо вирішити з ймовірністю 0,3, а другу - 0,6. Рішення: 0,3 + 0,6 - 0,18 = 0,72. Зауважте, просто підсумувати числа тут буде недостатньо.
умовна ймовірність
Нарешті, існує поняття умовної ймовірності, аргументи якої позначаються в дужках і розділяються вертикальною лінією. Запис P (A | B) читається так: «ймовірність події A за умови події B».
Розглянемо приклади розв'язання задач на додавання і множення ймовірностей, скориставшись даними з попереднього абзацу.
Для початку знайдемо ймовірність того, що ви полагодите відданий вам апарат. Для цього, по-перше, він повинен бути несправний, а по-друге, ви повинні впоратися з лагодженням. Це типова задача з використанням множення: отримуємо 0,2 * 0,4 = 0,08.
уважне використання
Як говорилося на початку статті, використання теорії ймовірності має бути обдуманим і усвідомленим.
Чим більше серія експериментів, тим ближче підходить теоретично пророкує значення до отриманого на практиці. Наприклад, ми кидаємо монетку. Теоретично, знаючи про існування формул додавання і множення ймовірностей, ми можемо передбачити, скільки разів випаде «орел» і «решка», якщо ми проведемо експеримент 10 разів. Ми провели експеримент, і за збігом обставин співвідношення випали сторін склало 3 до 7. Але якщо провести серію з 100, 1000 і більше спроб, виявиться, що графік розподілу все ближче підбирається до теоретичного: 44 до 56, 482 до 518 і так далі.
Таким чином, якщо ви звертаєтеся до незвіданого, до недослідженою області, теорія ймовірності може виявитися не застосовується. Кожна наступна спроба в цьому випадку може виявитися успішною і узагальнення типу «X не існує» або «X є неможливим» будуть передчасні.
Заключне слово
Отже, ми розглянули два види складання, множення і умовні ймовірності. При подальшому вивченні даної області необхідно навчитися розрізняти ситуації, коли використовується кожна конкретна формула. Крім того, потрібно представляти, чи можуть бути застосовані взагалі імовірнісні методи при вирішенні вашої задачі.
Як посунути чоловіків і стати босом - поради кар'єристка Незважаючи на те що корпоративний світ - це переважно чоловіче співтовариство, за статистикою бізнес-журналу Fortune, кількість жінок-босів за після.
