Рішення задач по теорії ймовірностей на підкидання монет зустрічаються як в ЄДІ-11 клас (завдання В6), так і в ОГЕ-9 клас (завдання 19).
Тому дану тему корисно буде прочитати і розібрати як дев'ятикласникам, так і 10-11- классникам.
Ось наприклад завдання варіанту 1 - В6 зі збірки тестів під ред. Ященко І.В.
У випадковому експерименті симетричну монету кидають 4 рази. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно 2 рази.
(Для початку спробуйте вирішити її самостійно, рішення буде розглянуто в кінці тексту)
Завдання на "кидання монет" - так коротко будемо називати цю тему, можуть бути як прості так і складні. Багато задач В6 можна вирішити в одну дію за формулою ймовірності.
де Р-шукана ймовірність
n-загальне число випробувань
m-число сприятливих результатів.
Кидання монет.
У цього випробування всього два результати - монета падає "орлом" або "решкою". Їх можна вважати елементарними подіями. Більш складні події скласти важко, але в простір подій можна включити одне
1. неможлива подія - при киданні не випав ні "орел" ні "решка" (припустимо, що монета стала на ребро),
2. і одна подія, яка відбудеться напевно, - випаде "орел" чи "решка" - така подія називають достовірним.
Такі завдання на практиці можна вирішувати двома способами.
- Легкі, де повторних випробувань трохи - методом перебору - тобто попередньо виписати всі можливі результати і вибрати сприятливі.
- Більш складні - де повторних випробувань багато - за схемою Бернуллі.
Спосіб для вирішення завдань малого кількості кидків
Розглянемо для початку найпростіші завдання, які можна вирішити методом перебору.
У випадковому експерименті симетричну монету кидають 2 рази. Знайдіть ймовірність того, що орлів і решек випаде однакова кількість.
Рішення: Монету кидають 2 рази. Випишемо всі можливі комбінації, де позначимо літерою О-орел, Р- решка.
Разом 4 результату. Випишемо або позначимо ті результати, які нас влаштовують, це 2. і 3. випадки (1 раз орел і 1 раз решка). Вийшло два з чотирьох підходять. Знайдемо ймовірність за формулою
Як бачите завдання вирішується дуже легко, були б всі такі в ЄДІ. Розглянемо ще одну задачу.
Монету кидають 4 рази. Знайдіть ймовірність того, що решка чи не випаде ні разу.
Рішення: Випишемо всі можливі результати
Всього 16 випадків. Решка чи не випаде ні разу, цій умові задовольняє тільки один результат ОООО.
Знайдемо ймовірність за формулою
Ми вирішили задачу простим, як би ручним способом, тобто методом перебору. А тепер уявіть, що якби монету кинули не 4, а 10 раз. При збільшенні кількості повторів - це зробити буде складно. Значить, такий спосіб вирішення завдань прийнятний тільки для малої кількості повторів.
Спосіб, для вирішення завдань, якщо монету кидають багато разів поспіль
Що вийде, якщо монету кидати багато разів поспіль? Тут нам допоможе так звана схема повторних випробувань. Ця схема була запропонована чудовим ученим Яковом Бернуллі (1654-1705) і носить його ім'я. Такі ситуації, коли багато разів кидають монети, або гральні кістки, або стріляють кілька разів - зустрічаються дуже часто. Завдання на "гральні кістки" розглянемо на наступному уроці. А зараз давайте детально розберемо завдання на "кидання монет".
При кожному випробуванні є два рівноймовірно результату: О-випав орел, Р- випала решка. Припустимо, що монету кинули n раз підряд. Скільки послідовних результатів при цьому можна отримати? Якщо незалежні повторні випробування проводяться без зміни умов, то ймовірність настання події А в кожному випробуванні однакова. Подібні випробування називаються схемою Бернуллі.
Імовірність того, що подія А в серії з n випробувань відбудеться рівно m раз, знаходиться за формулою Бернуллі:
де р-ймовірність появи події А в до аждом випробуванні
q = 1-p - це ймовірність протилежної події.
Виведемо спеціальну формулу стосовно для вирішення завдань на "кидання монет".
Вирішимо таке завдання в загальному вигляді:
Чому дорівнює ймовірність того, що при n кидках симетричною монети рівно m раз випаде "орел".
Рішення: Елементарним подією в цьому завданні буде одна строчка довжини n з двох символів О і Р.
Число подій дорівнює 2 n. Імовірність появи одного фіксованого події р = (1/2) n. Число рядків, у яких рівно m раз зустрічається символ О, так само Сn m - таким числом способів можна вибрати ті місця, де буде стояти символ О. Таким чином, ймовірність того, що при n киданнях монети рівно m раз випаде "орел" буде дорівнює
Так, по ідеї, так і виходить, якщо вирішувати за формулою Бернуллі. Так як для монет ймовірність може бути р = 1/2 (або решка, або орел), а ймовірність протилежної події q = 1-1 / 2 = 1/2. Підставляючи в формулу Бернуллі, отримаємо
Для полегшення виконання завдання на "кидання монет" необхідно запам'ятати цю формулу саме в такому вигляді. Ця спеціальна формула придатна саме для вирішення завдань з монетами.
Нехай монету кидають n раз. Тоді ймовірність того, що орел випаде m раз, можна знайти за формулою
де Сn m - число поєднань з n елементів по m.
Тепер виникає питання, як порахувати це число поєднань? В умові задачі повинно бути вказано число випробувань і число випадінь орла або решки. Тоді число поєднань обчислюємо наступним чином. Нехай випробувань n = 4, число повторів (три рази) m = 3, тоді обчислюємо за формулою
Факторіали обчислюються наступним чином
1) .У випадковому експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайдіть ймовірність того, що орел випав рівно 2 рази.
2). У випадковому експерименті симетричну монету кидають двічі. Знайдіть ймовірність того, що орел випаде рівно 1 раз.
3). Двічі кидають симетричну монету. Знайти ймовірність того, що обидва рази випала одна сторона.
4). Двічі кидають симетричну монету. Знайти ймовірність того, що обидва рази випала решка.
5). У випадковому експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайти ймовірність того, що орел чи не випаде ні разу.
6). У випадковому експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайти ймовірність того, що орел випаде рівно 1 раз.
7). У випадковому експерименті симетричну монету кидають тричі. Знайти ймовірність того, що орел випаде все три рази.