Керівник: Парфьонова Олена Віталіївна, вчитель математики
Тема «Деякі залежності площ і периметрів»
Загальноосвітній заклад МАОУ ЗОШ №2 м Колпашеве
Мета проекту. встановити деякі залежності між площею і периметром, побачити їх застосування в практичній ситуації, підтвердити або спростувати достовірність знаменитої задачі про царицю Дидону.
--повторити теорію з теми дослідження
--провести необхідні дослідження і досліди
-- розглянути практичне застосування отриманих результатів
З поняттям периметр і площу ми знайомимося ще початковій школі. Ці важливі поняття необхідні людині протягом усього його життя. І справа не тільки в тому, що діяльність представників деяких професій немислима без міцних знань по цій темі
(Будівельники, інженери, хлібороби, швачки, і т. Д. Важче назвати сферу діяльності людини, де ці поняття не знадобляться). Поняття площі і периметра необхідні людині в нашому житті постійно, самий банальний приклад - зробити ремонт в кімнаті, квартирі, будинку. І те й інше поняття пов'язують боку багатокутників, отже, знання залежностей між цими величинами дуже важливо для сучасної людини
2) Визначення предмета дослідження
Отже, згадаймо добре відомі нам факти.
П лощадь - величина, що характеризує розмір поверхні, яку займає геометрична фігура. (Скільки місця фігура займає на площині).
Периметр - розмір кордонів (контуру) геометричної фігури. (Сума довжин усіх сторін).
Рівні фігури мають рівні площі.
Площа всієї фігури дорівнює сумі площ її фігур.
За одиницю площі приймають площу квадрата, сторона якого дорівнює одиничному відрізку.
3) Формулювання проблеми
Незважаючи на всю важливість, я не можу пригадати ніяких залежностей зв'язують площі і периметри, які б ми вивчали в школі
Найпростіший приклад, який заводить у глухий кут недосвідчених обивателів
Є дві ділянки землі 60х100 і 50х120м. Начебто площа однакова, а перший вигідніше купити - паркан то на 20м коротше будувати! Жарти жартами, і з точки зору математики все ясно, а от логічно як то дивно, начебто периметр це замкнута уявна нитку, а то, що всередині неї не повинно змінюватися, її не крути. Чому є різниця в периметрах? Так все-таки, чи є якісь - то від того, чи площа і периметр ніяк не залежать один від одного?
Припускаємо, що деякі залежності існують.
Можна навіть припустити, що якщо площа більша, то периметр більше,
ніж сторін більше, тим периметр більше.
Дослідження почнемо з простої і добре знайомої нам фігури -прямоугольніка.
Заповнимо таблицю, вважаючи площа однієї клітини дорівнює 1 см 2
Кількість квадратиків не змінилося. Спостерігаємо, що відбувається зі сторонами прямокутника, коли периметр збільшується.
У фігури з'явилися додаткові боку, які стали кордонами, це додаткові 20 см, і зникла межа 5 + 5 = 10см. Разом 20-10 = 10 см. Ось і додаткові 10 см. Периметр збільшиться.
7. Основні висновки.
- Отже, при найменшому периметрі найвигідніша площа у квадрата. Чудова властивість квадрата, укладати в своїх кордонах найбільшу площу при постійному периметрі.
- Не завжди збільшення площі означає, що периметр теж збільшується. При однаковому периметрі і площі бувають різні!
- Чим більше сторін, тим більше периметр підтверджується.
8. Практичні завдання.
Завдання 1. Периметр квадрата збільшили на 40, потім периметр отриманого квадрата зменшили на 40. У якого з квадратів площа найменша
Відповідь. Чим більше периметр квадрата, тим більше його площа. 40 від периметра другого квадрата більше, ніж 40 від периметра першого. Значить, найменший периметр, а тоді і найменша площа у третього квадрата.
Завдання 2. Ми розмістили 15 дисків як показано на діаграмі. Периметр кожного диска дорівнює 12 см.Чему дорівнює зовнішній периметр цієї фігури?
Відповідь. Завдання цікава і для мене була важка. Я зробила так. Склала всі половинки, їх 9, значить периметр-54.Осталісь 3 кутових кола. Якщо з'єднати їх центри лініями. то вийде рівносторонній трикутник. Сума кутів трикутника 180 градусів, (це половинка периметра диска).
тобто 12х3-6 = 20. Так як я взяла 3 кола, то залишилося 3 кола мінус одна половинка, весь периметр дорівнює 54 + 30-84
Завдання 3. Людина прикинув в умі, що він може викласти підлогу кімнати, що має квадратну форму, квадратної плиткою, і що йому не треба буде ні одну з них розрізати. Спочатку рн поклав плитки по краях кімнати і на це у нього пішло 56 плиток.
Знайдіть, скільки всього йому треба мати плиток, щоб покрити всю підлогу? Чому дорівнює сума цифр цього числа.
Відповідь. Я з 56 відняла 4 кутові плитки, потім розділила 52 на4, отримала плитки в одному ряду плюс 2 кутові, вийшло 15, примножила на 15, вийшло 225, сума цифр 9.
Завдання 4. Накресліть який-небудь невеликий квадрат. Як треба змінити його боку, щоб побудувати квадрат, площа якого була б: 1) вчетверо більше? 2) в 9 разів більше? 3) в 16 разів більше?
Перевірте рішення побудовою.
1) Сторони збільшити в 2 рази
2) Сторони збільшити в 3 рази
3) Сторони збільшити в 4 рази
Завдання 5. З 22 сірників скласти прямокутник найбільшої площі. (Сірники не ламати!) Так - як мені відомо, що при постійному периметрі найбільшу площу укладає в собі квадрат, але квадрата не вийде, так як 22 не ділиться без остачі на 4. а також при постійному периметрі площа тим більше, чим менше різниця між сторонами, то найменша різниця вийде в разі коли сторони будуть рівні 5 см, 5 см. і 6 см. 6 см.
Завдання 6. (З книги Я. І. Перельмана) «Цікава геометрія)
З розповіді Л. Н. Толстого «Чи багато людині землі потрібно?»
Переведемо завдання на математичну мову. З точки зору математики шлях Пахома - це периметр. Шлях, тобто периметр, повинен бути якомога менше, а площа якомога більше, але чи можливо таке?
За день Пахом може пройти певну відстань, ні більше, ні менше, завдання - охопити цим відстанню якомога більше площі.
Математична постановка питання
Як найменшим периметром обійти площу. Що за постать, вийде при обході?
Пахому треба було йти по квадрату. Йому б стали в нагоді знання, отримані в результаті наших досліджень. До речі, не маючи вірної стратегії обходу Пахом намагався відхопити якомога більше площі і переоцінив свої сили, в фіналі оповідання він падає без сил і гине.
Завдання 6. Завдання Дідони. Фінікійська царівна Дідона, рятуючись від свого брата, тирана Пігмаліона, відпливла з рідного міста Тіра з невеликим загоном своїх прихильників. Було це, якщо вірити легенді, близько 825 року до нашої ери. Довго пливли царівна і її супутники по Середземному морю, поки не пристали до берега Африки. Жили в тих місцях нулідійци. Прибульці їм були абсолютно ні до чого. Але Дидоне нікуди було подітися, місце їй сподобалося, і царівна стала просити нулідійского царя Ярбай продати їй трохи землі. Бажаючи, мабуть, позбутися настирливої Фінікіянки, ЯРБ заломив нечувану ціну за клаптик землі, який можна оточити однієї бичачої шкурою. На його подив і розчарування, Дідона прийняла це знущальне пропозицію, розплатилася і відправилася відміряти свою землю. Тільки вона не стала розстеляти шкуру на березі. Як вона це зробила?
Відповідь. Від вчителя я чула розповідь про Давню царицю Дидону, яка рятуючись від переслідувань свого родича попросили притулку у Стародавнього царя. Вона попросила зовсім небагато Землі, стільки, скільки зможе охопить бичача шкура, але на відміну від Пахома, царівна була чудово знайома з математикою, тому вона перехитрила Царя, розрізавши шкуру бика на тонкі смужки і охопила отриманим периметром стільки Землі, що дозволило їй організувати на ній своє царство.
Я спробувала приблизно підрахувати, скільки ж Землі могла охопити Дідона. Може бути давня легенда, всього лише красивий вимисел? Використовуючи ресурси Мережі Інтернет, я дізналася, що шкура великого бика може досягати площі 4, 5 м 2. Одна смужка представляє з себе прямокутник. Уявімо собі, що все смужки поклали послідовно один за одним, і так як шкура досить міцна, спробуємо взяти ширину смужки 1 мм. Це я, вважаю мінімальна ширина, звичайно насправді ширина, швидше за все, не менше 3 мм, інакше смужки будуть рватися. Отримали прямокутник, ширина якого 1мм. Підрахуємо довжину. Якщо спочатку шкура має форму прямокутника зі сторонами 1500мм на 3000мм, тоді у нас буде 1500 смужок шириною 1мм, і загальною довжиною 1500х3000 = 4500000 мм = 4500 метрів
А тепер звернемося до древніх джерел, в них йдеться, що царівна змогла охопити 22 стадії, я дізналася, що 1 стадія
22 * 200 = 4400 метрів!
Давня легенда знаходить своє підтвердження! Мої розрахунки з точністю до 100 метрів збіглися з історичними даними! Так як з проведених вище досліджень мені зрозуміло, що при постійному периметрі найвигідніша площа у квадрата, вирахуємо сторону квадрата при периметрі 4400 метрів.
Даний периметр може охопити площу приблизно 1100мх1100м = 1210000м 2 = 121 га цілком достатня площа земельної ділянки для міста давнини!
- Підготовка до презентації
- Література і Інтернет - джерела: