Виберемо таким, щоб -oкрестності точок b і a не перетиналися (не мали спільних точок). Візьмемо, наприклад,. Так як число b - межа послідовності, то по заданому можна знайти номер N такий, що для всіх. Тому поза інтервалу може виявитися лише кінцеве число членів послідовності. Зокрема, інтервал може cодержащий лише кінцеве число членів послідовності. Це суперечить тому, що a - межа послідовності (будь-яка околиця точки a повинна містити нескінченне число членів послідовності). Отримане протиріччя показує, що послідовність не може мати два різних межі. Отже, що сходиться послідовність має тільки один межа.
Послідовність називається обмеженою знизу. якщо існує таке число, що всі члени послідовності задовольняють умові, т. е .:
Послідовність називається обмеженою зверху. якщо:
Послідовність, обмежену як знизу, так і зверху, називають обмеженою. т. е. послідовність називається обмеженою. якщо:
це можна записати і так:
Таким чином, послідовність називають обмеженою, якщо безліч її значень обмежена.
Теорема: (про обмеженість збіжної послідовності)
Якщо послідовність має границю, то вона обмежена.
Нехай послідовність має межу, що дорівнює а. За визначенням меж для знайдемо номер N такий, що при всіх має місце нерівність. Так як модуль суми не перевершує суми модулів, то:
Тому при всіх виконується нерівність:
Покладемо, тоді при всіх, т. Е. Послідовність обмежена.
Зауваження: В силу попередньої теореми всяка сходиться послідовність є обмеженою. Зворотне невірно: не всяка обмежена послідовність є збіжної! Наприклад. послідовність обмежена, але не є такою, що сходиться.
Зауваження: Якщо умова не виконується, т. Е.
то кажуть, що послідовність не обмежена.
Приклад: Довести, що послідовність є обмеженою, якщо, і, для всіх.
Так як, то. По заданому числу в силу визначення границі послідовності знайдеться номер такий, що:
Використовуючи нерівність для модуля різниці
і нерівність, отримуємо, звідки. І тому для всіх справедливо нерівність.
Нехай C = max, для всіх виконується нерівність, т. Е. - обмежена послідовність.
Единственность межі
Схожі статті