5.4. Обмеженість сходяться послідовностей
Визначення 5. Числова послідовність називається обмеженою зверху (знизу), якщо безліч її значень обмежена зверху (знизу).
Інакше кажучи, числова послідовність xn> обмежена зверху (знизу), якщо існує таке число
cR. що для всіх номерів n виконується нерівність xn
Послідовність, обмежена як зверху, так і знизу, називається обмеженою. Таким чином, числова послідовність xn> обмежена, якщо існують такі числа aR і bR. що для всіх номерів n виконується умова a
Послідовність, що не є обмеженою зверху (знизу), називається необмеженою зверху (знизу), а послідовність, яка не є обмеженою, називається необмеженою. Прикладом необмежених послідовностей є нескінченно великі послідовності (див. П. 5.1, визначення 3). Слід зауважити, однак, що не всяка необмежена послідовність є нескінченно великою. Так, послідовність
необмежена, але не нескінченно велика.
Теорема. Якщо числова послідовність має кінцевий межа. то вона обмежена.
Нехай послідовність xnR. n = 1, 2. має кінцевий межа = aR. Тоді згідно з визначенням меж послідовності (див. П. 5.1, визначення 1), взявши = 1, отримаємо, що існує такий номер n1. що для всіх номерів n> n1 буде виконуватися неравентсво
(У визначенні меж послідовності можна взяти будь-який> 0; ми взяли = 1; рис. 51). Позначимо через d найбільше з чисел 1, | x1 - a |. . Тоді, очевидно, в силу умови (5.29) для всіх
nN матиме місце нерівність
Це і означає, що послідовність xn> обмежена.