Еліптичної функцією називають таку мероморфна функція f. визначену на області C>. для якої існують два ненульових комплексних числа a і b. таких що:
а також приватне a b >> не є дійсним числом.
Будь-яке комплексне число ω. таке що
називають періодом функції f. Якщо періоди a і b такі, що будь-який ω може бути записано як:
то a і b називають фундаментальними періодами. Кожна еліптична функція має парою фундаментальних періодів.
- Не існує відмінних від констант цілих еліптичних функцій. (Перша теорема Ліувілля)
- Якщо еліптична функція f (z) не має полюсів на кордоні паралелограма α + Π. то сума відрахувань f (z) у всіх полюсах, що лежать всередині α + Π дорівнює нулю. (Друга теорема Ліувілля)
- Будь-яка еліптична функція з періодами a і b може бути представлена у вигляді
- Еліптичні функції Неелементарні, це було доведено Якобі в 1830-х роках.