Народився в сім'ї вірменського кухаря і російської кравчині. Єдинокровний брат - актор і режисер рачача Капланян (Хапланян)
Майже все життя прожив в старому дерев'яному будинку в Мар'їній Гаю.
З дитинства любив вірші Пушкіна. казки Андерсена і ляльковий театр. Ще будучи школярем, став займатися боксом. Після школи вступив до інституту фізкультури, але незабаром пішов з нього.
1960 рік - гастролював в Харкові. Тбілісі. Воронежі. Мінську та інших містах. 1961 - гастролі в містах Одеса. Баку. Москва. Перші гастролі в Москві, в цирку на Кольоровому бульварі. Шалений успіх. Перші закордонні гастролі - в Польщі - Краків. Варшава. Теж успіх.
1962 рік - гастролі в Ленінграді. де Єнгібарова вручили медаль за кращий номер року. У Ленінграді він познайомився з Марселем Марсо і Роланом Биковим. Биков став його близьким другом на все життя.
Смерть артиста була сприйнята багатьма представниками інтелігенції як особиста трагедія. Володимир Висоцький дуже емоційно відреагував на звістку про смерть Єнгібарова [2].
Нагороди та звання
- народний артист Вірменської РСР (1971).
- У 1964 році на Європейському конкурсі клоунів в Празі отримав першу премію - кубок Е. Басса.
Пам'ятник Леоніду Єнгібарова в Цахкадзорі (Вірменія).
У Володимира Висоцького є вірш 1972 року «Єнгібарова - від глядачів» [4]:
«... Ну а він, як ніби в воду канув,
Раптом при світлі, нахабно, в дві руки
Крав тугу з внутрішніх кишень
Наших душ, одягнених в піджаки ... »
- У Вірменії (в Єревані і в Цахкадзорі) Єнгібарова встановлені пам'ятники. [5]