1.5. Фатальна похибка функції
У теорії похибок розглядаються дві основні задачі: пряма і зворотна. Сформулюємо ці завдання і вкажемо способи їх вирішення (див. [1. c. 37-45]; [2. c. 41-46]; [3. c. 30]).
Пряма задача. Нехай задана функція
Потрібно, знаючи наближені значення аргументів і їх абсолютні похибки, оцінити неустранимую похибка функції
Будемо вирішувати поставлену задачу при наступних припущеннях:
1) де G - деяка опукла область n мірного числового простору;
3) похибка наближеного значення функції потрібно знайти з низькою точністю, наприклад, один-два вірних знака.
Сформульовані припущення дозволяють скоротити обсяг обчислень похибки функції. Справді, за формулою кінцевих збільшень Лагранжа маємо
Тут - похідні функції, обчислені в точці відрізка, що з'єднує точки і. Координати точки ξ невідомі. Однак в силу другого припущення про малість похибок аргументів функції ми можемо замінити точку ξ на. Тоді з формули (1.10) отримуємо
Можна підібрати таким чином, що права частина нерівності (1.11) буде дорівнює.
Отже, гранична абсолютна похибка наближеного значення функції обчислюється за формулою
Тоді, використовуючи визначення граничної відносної похибки наближеного значення, отримуємо формулу для її знаходження
Можна висловити відносну похибку функції через відносні похибки аргументів. У цьому випадку формула (1.13) набуде вигляду
Отже, формули (1.12) - (1.14) дають загальні вирази для абсолютної і відносної похибки функції, що залежить від декількох наближених аргументів, при сформульованих вище трьох припущеннях. Застосування формул (1.12) - (1.14) в деяких окремих випадках дає цікаві результати (див. [1. с. 39-42]; [2. c. 31-40]; [3. C. 16-19]). Наведемо їх.
Похибка суми. Розглянемо
Так як всі, то згідно з формулою (1.12) отримуємо
Іншими словами, при додаванні наближених величин їх абсолютні похибки складаються.
Зауважимо, що формула (1.15) дає сильно завищене значення абсолютної похибки, якщо число доданків n велике, тому що зазвичай похибки мають різні знаки і при їх складанні відбувається часткова компенсація. У таких випадках можна користуватися правилом статистичної оцінки абсолютної похибки суми (див. [5. с. 12]). Якщо похибки всіх доданків оцінюються величиною, тобто складові округлені до p -го десяткового розряду, то за правилом статистичної оцінки
де n> 10 - число доданків.