Остаточний член дорівнює або
Призначення сервісу. Сервіс призначений для онлайн обчислення певного інтеграла за формулою трапеції.
Висновок формули трапеції
Нехай n = 1 (дві точки). Тоді з формули (8.2.3) отримуємо
.
Звідси. (8.2.5)
Це відома формула трапецій. Остаточний член дорівнює.
Отримаємо формулу для R. Нехай відомо, що. Запишемо R у вигляді R = R (h)
.
Диференціюючи цю формулу по h два рази, отримаємо
,
причому R (0) = 0, R '(0) = 0.
Звідси, інтегруючи по h і використовуючи теорему про повну загальну середню, послідовно виводимо
де.
,
де або.
Таким чином, . (8.2.6)
Отримаємо тепер формулу трапецій для, тобто для функції f (x), заданої на довільному інтервалі [a, b].
Нехай задана сітка i>, де xi = a + ih, i = 0. n. Тоді інтеграл можна записати у вигляді
. (8.2.7)
Остаточний член
(8.2.8)
Оскільки y '' неперервна на [a, b], то завжди можна знайти таку точку, що.
Отже, з (8.2.8) отримаємо. (8.2.9)
Геометрично формула (8.2.7) виходить, якщо графік функції y = f (x) замінити ламаної.
З формул (8.2.6) і (8.2.9) видно, що якщо y ''> 0, то формула трапеції (8.2.5), (8.2.7) дасть значення інтеграла з надлишком. якщо y '' <0, то – с недостатком.
Зауваження. Якщо сітка нерівномірна, то замість формули (8.2.7) будемо мати:
.
.