Головна | Про нас | Зворотній зв'язок
На рис. 1 і 2 показані коливання частинок, положення рівноваги яких лежать на осі х. Насправді коливаються не тільки частинки, розташовані уздовж осі х, а сукупність часток, укладених в деякому обсязі. Поширюючись від джерела коливань, хвильовий процес охоплює все нові і нові частини простору. Геометричне місце точок, до яких доходять коливання до моменту часу t, називається фронтом хвилі (або хвильовим фронтом). Фронт хвилі являє собою ту поверхню, яка відокремлює частину простору, уже залучену в хвильової процес, від області, в якій коливання ще не виникли.
Геометричне місце точок, хто вагається в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильову поверхню можна провести через будь-яку точку простору, охопленого хвильовим процесом. Отже, хвильових поверхонь існує нескінченна безліч, в той час як хвильовий фронт кожний момент часу тільки один. Хвильові поверхні залишаються нерухомими. Хвильовий фронт весь час переміщується.
Хвильові поверхні можуть бути будь-якої форми. У найпростіших випадках вони мають форму площині або сфери. Відповідно хвиля в цих випадках називається плоскої або сферичної. У плоскій хвилі хвильові поверхні являють собою безліч паралельних один одному площин, в сферичної хвилі - безліч концентричних сфер.
Розглянемо випадок, коли плоска хвиля поширюється вздовж осі х. Тоді всі крапки середовища, положення рівноваги яких мають однакову координату х (але різні значення координат y і z), коливаються в однаковій фазі.
На рис. 3 зображена крива, яка дає зміщення # 958; з положення рівноваги точок з різними х в певний момент часу. Не слід сприймати цей малюнок як зриме зображення хвилі. На малюнку показаний графік функції # 958; (х, t) для деякого фіксованого моменту часу t. З плином часу графік переміщується вздовж осі х. Такий графік можна будувати як для поздовжнього, так і для поперечної хвилі. В обох випадках він виглядає однаково.
відстань # 955 ;, на яке поширюється хвиля за час, що дорівнює періоду коливань частинок середовища, називається довжиною хвилі. Очевидно, що
де # 965; - швидкість хвилі, Т - період коливань. Довжину хвилі можна визначити також як відстань між найближчими точками середовища, що хитаються з різницею фаз, що дорівнює 2π. Замінивши у співвідношенні (1) Т через 1 / # 957; (- частота коливань), отримаємо
Розглянувши коротко основні поняття, пов'язані з хвилею, перейдемо до описової стороні, тобто хвильовому рівнянню.
Розглянувши коротко основні поняття, пов'язані з хвилею, перейдемо до описової стороні, тобто хвильовому рівнянню.
Розглянемо довільну функцію
від аргументу (аt-b х). Продифференцируем її двічі по t:
Тут штрих означає диференціювання по аргументу (at-bx). Продифференцируем тепер нашу функцію двічі по х:
Порівнюючи (4) і (5), ми переконуємося, що функція (3) задовольнив ряется рівняння
Легко бачити, що цього ж рівняння задовольняє довільна функція
f (at + bx) (7) (7) аргументу (at + bx), а також сума функцій виду (3) і (7).
Функції (3) і (7) зображують при позитивних a, b плоскі хвилі, що поширюються, що не деформуючись, зі швидкістю і в сто-рону відповідно зростаючих або відбувають значень х **).
Рівняння (6) диференціальне рівняння в приватних похідних, що грає у фізиці дуже важливу роль. Воно називається хвильовим рівнянням. У математичних курсах доводиться, що воно не має рішень, відмінних від тих, які можуть бути представлені функціями виду (3) і (7) або суперпозицією таких функцій, наприклад,
Всякий раз, коли з фізичних міркувань можна встановити, що та чи інша фізична величина s задовольняє рівнянню виду
ми зможемо на підставі повідомлених тут математичних відомостей зробити висновок, що процес змін цієї величини носить характер плоскою, хвилі, що розповсюджується в ту або іншу сторону зі швидкістю u, або суперпозиції таких хвиль.
Вид функцій. визначається характером руху джерела хвиль, а також явищами, що відбуваються на кордоні середовища.
Нехай джерелом хвиль є площину х = 0, причому на цій площині величина S коливається але закону s = Acos (wt). У цьому випадку від площини х = 0 поширюються вправо і вліво хвилі
З лінійності хвильового рівняння випливає, що якщо йому задовольняють функції. . . в окремо, то йому задовольняє також функція
Розглянемо кілька прикладів.
а) Хвильовому рівняння задовольняють синусоїдальні біжать хвилі
= Aсоs (wt - kx), = Acos (wt + kx).
На підставі принципу суперпозиції хвильовому рівнянню задовольняє стояча хвиля
що є суперпозицією щойно розглянутих синусоїдальних хвиль, що біжать.
б) Хвильовому рівняння на підставі принципу суперпозиції задовольняє будь-яка функція виду
Це-функція виду f (at-bx); вона зображує несинусоїдальну хвилю, що поширюється без деформації у бік зростаючих х.
в) Нехай хвилі. . мають вигляд коротких імпульсів, розповсюджуються назустріч одна одній. В деякий момент моментальний знімок суперпозиції + цих хвиль має вигляд, показаний на рис. 4, а. Через деякий час моментальний знімок хвилі буде мати вигляд, показаний на рис. 4, б, - хвилі пройдуть «одна крізь іншу» і при тому кожна так, як ніби інший не існує.