принцип максимуму
Функція U, гармонійна в області D. досягає свого максимуму і мінімуму тільки на кордоні ∂ D. Таким чином, гармонійна функція не може мати у внутрішній точці області локального екстремуму. за винятком тривіального випадку постійної в D функції. Однак функція може бути невизначена на кордоні, тому правильніше сказати ∀ m ∈ D inf Q ∈ D U (Q)
Гармонійна функція, певна на R n> ^> і обмежена зверху чи знизу, постійна.
властивість середнього
Якщо функція u гармонійна в деякому кулі B (x 0))> з центром в точці x 0>. то її значення в точці x 0> одно її середньому значенню по межі цієї кулі або по кулі:
Назад, будь-яка безперервна функція, яка має властивість середнього для всіх куль, що лежать в деякій області, є в цій області гармонійної.
диференційовність
Функція, гармонійна в області, нескінченно диференційована в ній.
Якщо функція U (M) = U (x 1. x k). x _)>. гармонійна в к-вимірному кулі Q r> радіуса R з центром в деякій точці M 0>. неотрицательна в цій кулі, то для її значень в точках M всередині розглянутого кулі справедливі нерівності: R k - 2 R - r (R + r) k - 1 U (M 0) ≤ U (M) ≤ R k - 2 R + r (R - r) k - 1 U (M 0) >>> U (M _)> \ leq \ leq >> U (M _) >>. де r = ρ (M 0. M)
Нехай v n (z) (z)> - позитивні гармонійні функції в деякій області D. Якщо ряд Σ 1 ∞ v n (z) ^ v_ (z)> сходиться хоча б в одній точці області D. то він рівномірно сходиться всередині D.