- Освітні цілі: вивчення поняття «паралельне проектування» і його властивостей, формування навичок побудови зображень плоских і просторових фігур на площині за допомогою аксонометрической проекції, розвиток умінь порівнювати явища
- Розвиваючі цілі: розвиток абстрактного мислення, просторової уяви та інтуїції, розвиток пізнавального інтересу і інтересу до пошуково-дослідницької діяльності.
- Виховні цілі: розвиток навичок колективної роботи, створення атмосфери доброзичливості на уроці.
Обладнання: комп'ютер, навчальний диск, інтерактивна дошка, проектор, моделі плоских геометричних фігур.
1. Організаційний момент.
Учитель математики: Сьогодні у нас з Вами незвичайний урок. Сьогодні на нашому уроці зустрінуться геометрія і креслення. Тема нашого уроку «Зображення просторових фігур на площині».
2. Актуалізація знань учнів за допомогою дидактичної гри «Вірно - невірно». Етап супроводжується показом слайдовий презентації (додаток 1).
Учитель математики: Щоб робота на уроці була плідною, давайте згадаємо деякі факти, що характеризують властивості паралельних прямих і площин. Ваше завдання визначити вірність наступних висловлювань. Отже, починаємо.
1. Чи вірно, що через будь-яку точку простору можна провести безліч прямих паралельних даній прямій?
По теоремі про існування прямої, паралельної даній прямій через точку простору можна провести єдину пряму.
2. Чи вірно, що якщо одна з двох паралельних прямих перетинає площину, то й інша теж перетинає цю площину?
За лемі про перетин площині двома паралельними прямими, якщо одна з паралельних прямих перетинає дану площину, то й інша пряма перетинає цю площину.
3. Чи правда, що дві непересічні прямі в просторі паралельні?
У просторі не мають спільних точок паралельні і перехресні прямі.
4. Чи вірно, що якщо дві прямі паралельні деякій площині, то вони паралельні один одному?
Ці прямі можуть бути не тільки паралельними, а й перетинатися, а також вони
можуть бути перехресними.
3. Визначення цілей уроку з допомогою учнів проводить вчитель креслення.
Ви помітили, що дати точну відповідь нам допомогли креслення. Сподіваюся, що ніхто з Вас не стане заперечувати того, що «хороший» креслення завжди допоможе нам у вирішенні геометричних задач, але в той же час все побудови на уроках креслення Ви виконуєте на основі математичних законів. Головним завданням нашого сьогоднішнього уроку буде зрозуміти, що потрібно знати, щоб наші креслення завжди були правильними і «хорошими».
4. Історична довідка про проективної геометрії, паралельному проектуванні.
Учитель креслення: Паралельна проекція всім добре знайома. Сонце знаходиться від нас так далеко, що його промені в будь-який момент часу можна вважати практично паралельними. Тому тінь від будь-якого предмета на дорозі або стіні будинку є проекцією цього предмета на площину дороги або стіни паралельно променям сонця (рис.1).
Учитель креслення: за допомогою презентації розповідає про паралельну проекції (косокутній і прямокутної), про творця нарисної геометрії Гаспаре Монжа (1746-1818) (рис.2) і Ж.Дезарге (1593-1662).
5. Пошуково-дослідницька діяльність учнів.
На цьому етапі необхідно з'ясувати властивості паралельної проекції.
Вчителі пропонують пограти в театр тіней.
- Як у всякому театрі у нас повинні бути актори. Сьогодні все ролі Ваші.
(Розподіляються ролі, лунають ескізи фігур - «героїв» дії: точка, пряма, відрізок, трикутник, паралелограм, коло, і.т.д.)
Жили-були на світі геометричні фігури: точки, прямі, відрізки, кути, трикутники, паралелограми, трапеції та кола. Вони були дуже дружними фігурами і завжди допомагали один одному. Одного разу місто привезли нову розвагу - ДЗЕРКАЛО ПАРАЛЕЛЬНИХ проекції. І всі жителі містечка вирушили в нього подивитися. Першою прийшла Точка.
- Що Ви, шановна Точка, побачили в дзеркало?
(Учениця розповідає, що виходить при проекції точки на площину).
Слідом за нею прибігла красуня Пряма.
- А що Ви побачили, дорога Пряма?
(Учениця розповідає, що виходить при проекції прямої на площину).
Дуже зацікавився дзеркалом веселий Відрізок.
- Що ж цікавого міг побачити наш приятель?
Він побачив відрізок, але зовсім інший довжини, яка змінювалася в залежності від того як він повертався. (Бажано, щоб учень самостійно зробив цей висновок).
А вже коли до нього приєднався його брат - другий Відрізок, так веселощам не було кінця. Покрутилися вони собі на втіху. І перетиналися, і ставали паралельними. І все це відбився в проекційному дзеркалі.
- Що цікавого Ви побачили?
(Учитель з'ясовує різні випадки зображення двох відрізків).
Але тут прийшов Знайка. якому теж було дуже цікаво подивитися на це дзеркало. Він тут же попросив братів відрізку допомогти йому провести маленький експеримент. Знайка розділив відрізок у відношенні 2: 1 і перевірив, чи зміниться це співвідношення в дзеркалі.
- Шановний, Знайка, що ж Ви побачили?
(Робиться висновок про збереження відносин довжин відрізків).
Слава про дзеркалі швидко рознеслася по всьому місту. Поспішаючи, підійшов до цього чуда дядечко Кут. І дуже образився.
- Що Вас так образило, шановний дядечко Кут?
(Робиться висновок про незбереження градусних мір кутів).
Слідом за ним прибігли Трикутник, Паралелограм, Прямокутник, Окружність і Трапеція.
- Що ж Ви все побачили в цьому диво - дзеркалі?
(З кожної геометріческ5ой фігурою з'ясовується, що представляють їх проекції).
Довго не змовкало веселощі в маленькому містечку геометричних фігур, а ми з Вами давайте підведемо підсумки.
Так які ж властивості фігур зберігаються при паралельному проектуванні?
А які не зберігаються? (Підсумки підводяться за допомогою презентації).
При паралельному проектуванні зберігаються такі властивості фігур
- Властивість фігури бути точкою, прямий і площиною.
- Властивість фігур мати перетин.
- Розподіл відрізка в даному відношенні.
- Паралельність прямих і площин.
- Властивість фігури бути трикутником, параллелограммом, трапецією.
- Відношення довжин паралельних відрізків.
- Відношення площ двох фігур.
При паралельному проектуванні не зберігаються такі властивості фігур:
- Властивість прямих і площин утворювати між собою кути певної градусної міри (зокрема бути взаємно перпендикулярними).
- Відношення довжин не паралельно відрізків.
- Ставлення величин кутів між прямими (зокрема, властивість променя бути бісектрисою кута).
Текст властивостей висвічується на інтерактивній дошці по мірі їх виявлення. В учнів на столах лежать пам'ятки з перерахуванням цих властивостей.
- Проекція точки є точка.
- Проекція прямої є пряма (рис.3).
- Проекція відрізка є відрізок (рис.4).
- Проекції паралельних відрізків - паралельні відрізки або відрізки, що належать одній прямій (рис.5).
- Проекції паралельних відрізків, а також проекції відрізків, що лежать на одній прямій, пропорційні самим відрізкам (рис.6).
Учитель математики: Тепер з'ясуємо як зображуються фігури в аксонометрической проекції. За малюнком 7 спробуйте сформулювати алгоритм побудови довільної плоскої фігури за допомогою паралельного проектування.
А тепер поговоримо про зображення певних плоских фігур.
Довільний відрізок на кресленні можна вважати зображенням даного відрізка.
Як зображення даного трикутника на кресленні можна брати довільний трикутник (рис.8).
Зображенням рівнобедреного і прямокутного трикутників може служити різносторонній трикутник (рис.9).
Зображенням даного паралелограма можна вважати довільний паралелограм (рис.10).
Зокрема зображенням прямокутника, ромба і квадрата буде паралелограм.
зображення трапеції
Зображенням трапеції є трапеція, у якої підстави пропорційні підстав самої трапеції (рис. 11).
Зображенням рівнобедреної трапеції може бути і неравнобедренная трапеція.
Паралельної проекцією кола є еліпс (рис.12).
Еліпс використовують при зображенні на площині циліндрів, конусів, усічених конусів і сфер.
6. Практичне застосування теоретичних знань. Вирішення задач
Учитель математики: Наступним кроком в нашій роботі буде етап вирішення завдань, що лежать в основі правильного зображення просторових фігур в паралельній проекції. (Для вирішення завдань використовуються можливості інтерактивної дошки. Текст всіх завдань лежить на столах учнів).
Завдання 1. Трикутник ABC є паралельною проекцією трикутника A1B1C1. У трикутнику A1B1C1 проведені з вершини A1 бісектриса, медіана і висота. Чи будуть проекції цих відрізків відповідно биссектрисой, медианой і висотою?
Завдання 2. Побудувати зображення правильного трикутника і зображення висоти і бісектриси кута А (рішення на рис.13 і рис.14).
Завдання 3. Трикутник ABC - паралельна проекція правильного трикутника. Побудувати проекцію серединного перпендикуляра до сторони АС. Побудувати проекцію перпендикуляра, проведеного з вершини С до сторони АС.
Завдання 4. Трапеція ABCD - паралельна проекція рівнобедреної трапеції. Побудувати вісь симетрії і висоту даної трапеції (рішення на рис.15 і рис.16).
Завдання 5. Дана паралельна проекція ромба. Побудувати паралельну проекцію прямих, проведених через середину сторони перпендикулярно діагоналям (рішення на рис.17 і рис.18).
Завдання 6. Накресліть паралельну проекцію ромба, що має кут в 60 °. Побудуйте зображення висоти цього ромба, проведеної: а) з вершини гострого кута; б) з вершини тупого кута.
7. Заключний етап уроку. Висновки. Підбиття підсумків
Фронтальна бесіда з учнями.
- Що називається паралельної проекцією точки, відрізка, трикутника, кола?
- Які величини не змінюються при паралельному проектуванні? (Довжина відрізка, градусна міра кутів, відносини довжин відрізків).
- Чи може при паралельному проектуванні паралелограма вийти трапеція і навпаки?
- Побудувати за допомогою паралельної проекції: а) зображення правильного шестикутника; б) зображення правильного восьмикутника.
- Дан довільний трикутник. Вважаючи його зображенням прямокутного трикутника, накреслити зображення квадратів, побудованих на катетах і гіпотенузи.