Історія негативних чисел
Відомо, що натуральні числа виникли при рахунку предметів. Потреба людини вимірювати величини і ту обставину, що результат вимірювання не завжди виражається цілим числом, привели до розширення безлічі натуральних чисел. Були введені нуль і дробові числа.
Процес історичного розвитку поняття числа на цьому не закінчився. Однак не завжди першим поштовхом до розширення поняття числа були виключно практичні потреби людей. Було і так, що завдання самої математики вимагали розширення поняття числа. Саме так було з виникненням негативних чисел. Рішення багатьох задач, особливо що вирішуються за допомогою рівнянь, призводило до віднімання з меншого числа більшого. Це зажадало введення нових чисел.
Вперше негативні числа з'явилися в Стародавньому Китаї вже приблизно 2100 років тому. Там вміли також додавати і віднімати позитивні і негативні числа, правила множення і ділення не застосовувалися.
У II ст. до н. е. китайський вчений Чжан Цань написав книгу «Арифметика в дев'яти розділах». Зі змісту книги видно, що це не цілком самостійну працю, а переробка інших книг, написаних задовго до Чжан Цаня. У цій книзі вперше в науці зустрічаються негативні кількості. Вони розуміються їм не так, як розуміємо і застосовуємо їх ми. Повного і ясного розуміння природи негативних величин і правил дії з ними у нього немає. Кожне негативне число він розумів як обов'язок, а позитивне - як майно. Дії з негативними числами він виробляв не так, як ми, а використовуючи міркування про борг. Наприклад, якщо до одного боргу додати інший борг, то в результаті вийде борг, а не майно (т, е. На нашу (- х) + (- х) = - 2х. Знака мінус тоді не знали, тому, щоб відрізнити числа , які виражали борг, Чжань Цань писав їх іншим чорнилом, ніж числа, які виражали майно (позитивні).
Позитивні кількості в китайській математиці називали «чен» і зображували червоним кольором, а негативні - «фу» і зображували чорним. Такий спосіб зображення використовувався в Китаї до середини XII століття, поки Лі Е не запропонував більш зручне позначення негативних чисел - цифри, які зображували негативні числа, перекреслювали рискою навскіс справа наліво. Хоча китайські вчені і пояснили негативні кількості як борг, а позитивні - як майно, все ж вони уникали широкого вживання їх, так як числа ці здавалися незрозумілими, дії з ними були неясні. Якщо ж завдання приводила до негативного вирішення, то намагалися замінити умова (як греки), щоб в результаті виходило рішення позитивне.
У V-VI століттях від'ємні числа з'являються і дуже широко поширюються в індійській математиці. Для обчислень математики того часу користувалися лічильної дошкою, на якій числа зображувалися за допомогою рахункових паличок. Так як знаків + і - в той час ще не було, паличками червоного кольору зображували позитивні числа, негативні ж - паличками чорного кольору і називали «борг» і «недостача». Позитивні числа тлумачилися як «майно». На відміну від Китаю в Індії були вже відомі і правила множення, ділення. В Індії негативні числа систематично використовували в основному так, як це ми робимо зараз. Уже в творі видатного індійського математика і астронома Брахмагупти (598 - близько 660 рр.) Ми читаємо: «майно і майно є майно, сума двох боргів є борг; сума майна і нуля є майно; сума двох нулів є нуль ... Борг, який віднімають від нуля, стає майном, а майно - боргом. Якщо потрібно відняти майно від боргу, а борг від майна, то беруть їх суму ».
Негативними числами індійські математики користувалися при вирішенні рівнянь, причому віднімання замінювали додаванням з равнопротівоположним числом.
Разом з негативними числами індійські математики ввели поняття нуль, що дозволило їм створити десятеричная систему числення. Але довгий час нуль не визнавали числом, «nullus» по - латині - ніякий, відсутність числа. І лише через X століть, в XVII-му столітті з введенням системи координат нуль стає числом.
Греки теж спочатку знаків не використали. Давньогрецький вчений Діофант взагалі не визнавав негативні числа, і якщо при вирішенні рівняння виходив негативні корінь, то він відкидав його як "недоступний". І Діофант намагався так сформулювати завдання і складати рівняння, щоб уникнути негативних коренів, але незабаром Діофант Олександрійський став позначати віднімання знаком.
Незважаючи на те, що негативні числа використовувалися давно, ставилися до них з певною недовірою, вважаючи їх не зовсім реальними, тлумачення їх як майно-борг викликало подив: як можна «складати» і «віднімати» майно і борги?
В Європі визнання настало на тисячу років пізніше. До ідеї негативного кількості досить близько підійшов на початку XIII століття Леонардо Пізанський (Фібоначчі), який теж ввів його для вирішення фінансових завдань з боргами і прийшов до думки, що негативні кількості треба приймати в сенсі, протилежному позитивним. У ті роки були розвинені так звані математичні поєдинки. На змаганні в рішенні задач з придворними математиками Фрідріха II Леонардо Пізанського (Фібоначчі) було запропоновано вирішити задачу: потрібно знайти капітал декількох осіб. Фібоначчі отримав від'ємне значення. «Цей випадок, - сказав Фібоначчі, - неможливий, хіба тільки прийняти, що один мав не капітал, а борг».
У 1202 році він вперше використовував негативні числа для підрахунку своїх збитків. Однак, в явному вигляді негативні числа застосував вперше в кінці XV століття французький математик Шюке.
Проте до XVII століття негативні числа були "в загоні" і довгий час їх називали «помилковими», «уявними» або «абсурдними». І навіть в XVII столітті знаменитий математик Блез Паскаль стверджував, що 0-4 = 0 бо немає такого числа, яке може бути менше нічого, а аж до XIX століття математики часто відкидали в своїх обчисленнях негативні числа, вважаючи їх безглуздими ...
Бомбелли і Жирар, навпаки, вважали негативні числа цілком допустимими і корисними, зокрема, для позначення нестачі чого-небудь. Відлунням тих часів є та обставина, що в сучасній математиці операція віднімання і знак негативних чисел позначаються одним і тим же символом (мінус), хоча алгебраїчно це абсолютно різні поняття.
В Італії лихварі, даючи гроші в борг, ставили перед ім'ям боржника суму боргу і рисочку, на кшталт нашого мінуса, а коли боржник повертав гроші, закреслювали її, виходило щось на зразок нашого плюса. Можна ж плюс вважати закресленим мінусом!
Сучасне позначення позитивних і негативних чисел зі знаками
«+» І «-» застосував німецький математик Видман.
Німецький математик Михайло Штіфель в книзі «Повна арифметика» (1544) вперше вводить поняття про негативні числах як про числах, менших нуля (менших, ніж ніщо). Це був дуже великий крок вперед у справі обгрунтування негативних чисел. Він дав можливість розглядати негативні числа не як обов'язок, а зовсім по-іншому, по-новому. Але Штіфель називав негативні числа абсурдними; дії з ними, за його словами, «теж йдуть абсурдно. навиворіт ».
Після Штіфеля вчені стали більш впевнено проводити дії з негативними числами.
Все частіше зберігалися і тлумачилися негативні рішення в задачах.
У XVII ст. великий французький математик Рене Декарт запропонував відкладати негативні числа на числовій осі вліво від нуля. Нам зараз здається це все таким простим і зрозумілим, але, щоб дійти до цієї думки, треба було вісімнадцять століть роботи вченої думки від китайського вченого Чжан Цаня до Декарта.
У працях Декарта негативні числа одержали, як кажуть, реальне тлумачення. Декарт і його послідовники визнавали їх нарівні з позитивними. Але в діях над негативними числами не все було ясно (наприклад, множення на них), тому багато вчених не бажали визнавати негативні числа за числа дійсні. Серед вчених розгорівся великий і довгу суперечку про сутність негативних чисел про те визнати негативні числа числами дійсними чи ні. Суперечка ця після Декарта тривав близько 200 років. За цей період математика як наука отримала дуже великий розвиток, і на кожному кроці в ній зустрічалися негативні числа. Математика стала немислимою, неможливою без негативних чисел. Все більшій кількості вчених ставало ясно, що негативні числа - це числа дійсні, такі ж реальні, насправді існуючі числа, як числа позитивні.
Насилу завоювали собі місце в математиці негативні числа. Як не старалися вчені уникати їх. Все ж таки вдавалося це їм не завжди. Життя ставила перед наукою нові і нові завдання, і все частіше і частіше завдання ці приводили до негативних рішень і в Китаї, і в Індії, і в Європі. Тільки на початку XIX ст. теорія негативних чисел закінчила свій розвиток, і «абсурдні числа» отримали загальне визнання.
Всякий фізик постійно має справу з числами: він завжди щось вимірює, обчислює, розраховує. Скрізь в його паперах - числа, числа і числа. Якщо придивитися до записів фізика, то виявиться, що під час запису чисел він часто використовує знаки «+» і «-».
Як же виникають позитивні, а тим більше негативні числа в фізиці?
Фізик має справу з різними фізичними величинами, що описують різноманітні властивості навколишніх предметів і явищ. Висота будівлі, відстань від школи до будинку, маса і температура людського тіла, швидкість автомобіля, об'єм банки, сила електричного струму, показник заломлення води, потужність ядерного вибуху, напруга між електродами, тривалість уроку або зміни, електричний заряд металевої кульки - все це приклади фізичних величин. Фізичну величину можна виміряти.
Не слід думати, що будь-яка характеристика предмета або явище природи може бути виміряна і, отже, є фізичною величиною. Це зовсім не так. Наприклад, ми говоримо: «Які гарні гори навколо! І яке гарне озеро там, в низу! А яка гарна ялина он на тій скелі! Але ми не можемо виміряти красу гір, озера, або цієї самотньої їли! »Значить така характеристика, як краса, не є фізичною величиною.
Вимірювання фізичних величин проводяться за допомогою вимірювальних приладів, таких як лінійка, годинник, ваги і т. Д.
Отже, числа у фізиці виникають в результаті вимірювання фізичних величин, а числове значення фізичної величини, що отримується в результаті вимірювання, залежить: від того, як визначена ця фізична величина; від використовуваних одиниць виміру.
Подивимося на шкалу звичайного вуличного термометра.
Вона має вигляд, зображений на шкалі 1. На ній нанесені тільки позитивні числа, і тому при вказівці чисельного значення температури доводиться додатково пояснювати 20 градусів тепла (вище нуля). Це для фізиків незручно - адже слова в формулі не підставити! Тому в фізиці застосовується шкала з негативними числами.
Подивимося на фізичну карту світу. Ділянки суші на ній розфарбовані різними відтінками зеленого та коричневого кольорів, а моря і океани розфарбовані блакитним і синім. Кожному кольору відповідає своя висота (для суші) або глибина (для морів і океанів). На карті намальована шкала глибин і висот, яка показує, яку висоту (глибину) означає той чи інший колір,
Використовуючи таку шкалу, досить вказати число без всяких додаткових слів: позитивні числа відповідають різним місцям на суші, що знаходяться над поверхнею моря; негативні числа відповідають точкам, що знаходяться під поверхнею моря.
У розглянутій нами шкалою висот за нульову приймається висота поверхні води в Світовому океані. Ця шкала використовується в геодезії і картографії.
На відміну від цього, в побуті ми зазвичай за нульову висоту приймаємо висоту поверхні землі (в тому місці, в якому ми знаходимося).
3.1 Як в давнину вважали року?
У різних країнах по-різному. Наприклад, в Давньому Єгипті кожен раз, коли починав правити новий цар, рахунок років починався заново. Перший рік правління царя вважався першим роком, другий - другим і так далі. Коли цей цар помирав і до влади приходив новий, знову наступав перший рік, потім другий, третій. Іншим був рахунок років, що застосовувався жителями одного з найдавніших міст світу-Риму. Рік заснування свого міста римляни вважали першим, наступний - другим і так далі.
Рахунок років, яким ми користуємося, виник давно і пов'язаний з шануванням Ісуса Христа - засновника християнської релігії. Рахунок років від народження Ісуса Христа поступово був прийнятий в різних країнах. У нашій країні він введений царем Петром Першим триста років тому. Час, що обчислюється від Різдва Христового, ми називаємо НАША ЕРА (а пишемо скорочено Н. Е.). Триває наша ера дві тисячі років.
Більшість людей знають негативні числа, але є і такі у яких уявлення негативних чисел невірне.
Негативні числа найбільше зустрічаються в точних науках, в математиці і фізиці.
У фізиці негативні числа виникають в результаті вимірів, обчислень фізичних величин. Негативне число - показує величину електричного заряду. В інших науках, як географії та історії, негативне число можна замінити словами, наприклад, нижче рівня моря, а в історії - 157 років до н. е.
7. «Елементи історизму в викладанні математики в середній школі», Москва, «Просвещение», 1982р
8. Нурк Е. Р. Тельгмаа А. Е. «Математика 6 клас», Москва, «Просвещение», 1989р
9. «Історія математики в школі», Москва, «Просвещение», 1981 г.