- Познайомитися з різноманіттям систем числення.
План проведення проекту
- Вивчити історію виникнення систем числення.
- Оцінити гідність і недоліки систем числення.
- Розглянути які системи числення використовуються сьогодні і чому.
Інформаційна довідка
Система числення - це знакова система, в якій числа записуються за певними правилами за допомогою символів деякого алфавіту, званих цифрами.
Розрізняють позиційні і непозиційної системи числення.
У непозиційних системах числення кількісний еквівалент кожної цифри не залежить від її положення в запису числа. До них відносяться Єгипетська система числення, Римська система числення, Давньогрецька система числення, Слов'янська система числення
У позиційних системах числення значення цифри залежить від її позиції в записі числа. Позиція в числі називається розрядом. Прикладом таких систем є десяткова, двійкова і т.д.
Непозиційної системи числення
Єгипетська система числення Розшифровка системи числення, створеної в Єгипті за часів першої династії (бл. 2850 до н.е.), була істотно полегшена тим, що ієрогліфічні написи древніх єгиптян були акуратно вирізані на кам'яних монументах. З цих написів нам відомо, що стародавні єгиптяни використовували тільки десяткову систему числення. Одиницю позначали однією вертикальною лінією, а для позначення чисел, менших 10, потрібно було поставити відповідне число вертикальних штрихів. (Див. Зведену таблицю позначень чисел.) Щоб записані таким чином числа було легко дізнаватися, вертикальні штрихи іноді об'єднувалися в групи з трьох або чотирьох рис. Для позначення числа 10, підстави системи, єгиптяни замість десяти вертикальних рис ввели новий колективний символ, що нагадує за своїми контурами підкову або крокетний дужку. Безліч з десяти підковоподібних символів, тобто число 100, вони замінили іншим новим символом, що нагадує сильця; десять пастки, тобто числа 1000, єгиптяни позначили стилізованим зображенням лотоса. Продовжуючи в тому ж дусі, єгиптяни позначили десять лотосів зігнутим пальцем, десять зігнутих пальців - хвилястою лінією і десять хвилястих ліній - фігуркою здивованого людини. В результаті стародавні єгиптяни могли представляти числа до мільйона. Римська система числення
Римська система числення Для запису чисел в римській системі числення використовуються літери латинського алфавіту. При цьому буква I завжди означає одиницю, буква - V п'ять, X - десять, L - п'ятдесят, C - сто, D - п'ятсот, M - тисячу. Наприклад, число 264 записується у вигляді CCLXIV. При записи чисел в римській системі числення значенням числа є алгебраїчна сума цифр, в нього входять. При цьому цифри в запису числа слідують, як правило, в порядку убування їх значень, і не дозволяється записувати поруч більше трьох однакових цифр. У тому випадку, коли за цифрою з великим значенням слід цифра з меншим, її вклад в значення числа в цілому є отріцательним.Напрмер, IV позначає 4, VI-6, LX- 60, XC-90 і т.д. Недоліком римської системи є відсутність формальних правил запису чисел і, відповідно, арифметичних дій з багатозначними числами. Через незручності і великої складності в даний час римська система числення використовується там, де це дійсно зручно: в літературі (нумерація глав), в оформленні документів (серія паспорта, цінних паперів та ін.), В декоративних цілях на циферблаті годинника і в ряді інших випадків. Давньогрецька система числення
Давньогрецька система числення Давньогрецька аттическая п'ятіркова У найдавніше час в Греції була поширена так звана Аттична система числення, назва походить від області Греції - Аттики зі столицею Афіни. У цій системі числа 1, 2, 3, 4 зображувалися відповідною кількістю вертикальних смужок. Число 5 записувалося спеціальним знаком (давня накреслення букви "Пі", з якої починалося слово "п'ять" - "Пента"). Числа 6, 7, 8, 9 позначалися поєднаннями цих знаків. Число 10 позначалося - заголовної "Дельта" від слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 і 10 000 позначалися H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 позначалися комбінаціями чисел 5 і 10, 5 і 100, 5 і 1 000. Теж дуже гарна система запису чисел, але дуже незручна у виконанні обчислень. Давньогрецька ионийская десятеричная алфавітна Приблизно в третьому столітті до нашої ери аттическая система числення в Греції була витіснена іншою, так званої "іонійської" системою (вона виникла в Мілеет - грецька малоазіатська колонія Іонії). У ній числа 1 - 9 позначаються першими літерами давньогрецького алфавіту. Для позначення тисяч і десятків тисяч користувалися тими ж цифрами, але тільки з додаванням особливого значка '. Будь-яка буква з цим значком відразу ж ставала в тисячу разів більше. Для відмінності цифр і букв писали рисочки над цифрами. Крім 24 букв класичного грецького алфавіту використовуються також дві архаїчні літери: для 6 - дігамма, нагадує лат. F (пізніше була замінена кінцевий сигмою σ), для 90 - коппа, схожа на лат. q, - а також, для 900, специфічний значок Сампо, що виник з поєднання букв сигма і пі (зафіксований тільки в числовому значенні). Хоча видається, що можливості алфавітного нумерації в позначенні великих чисел обмежені, в роботі «Обчислення піщинок» ( «Псамміт») Архімед розробив спосіб, який дозволив би висловлювати скільки завгодно великі числа (навіть число піщинок у всьому Всесвіті) за допомогою спеціальної, створеної за певними правилами системи найменувань десяткових розрядів. Ионийская система майже в незмінному вигляді перекочувала до слов'ян, алфавіти яких (кирилиця і глаголиця) створені на основі грецького. Слов'янська система числення
Слов'янська система числення Сучасний російський алфавіт значно відрізняється від кирилиці. Як виглядали літери кириличної абетки, як називалися, як звучали? Чим "і десятеричная" відрізняється від "і вісімкового"? Крім того, слов'янські числа записувалися в незвичному нам вигляді: чи не арабськими цифрами, а буквами тієї ж самої кирилиці. Як же записати або прочитати число, позначене буквою? Цікаво? Для того, щоб не переплутати число і слово, над числом ставиться Титло. Де ставити Титло? Є два варіанти: або Титло розширюється і покриває все число, або ставиться над другий праворуч буквою (якщо число позначено двома і більше символами). Слов'янська літерна система числення - система десятеричная, але не є позиційною; в ній кожному з розрядів числа відповідає свій знак - буква кирилиці. Нуля в цій системі немає. Число записується як сума своїх сотень, десятків і одиниць. У якому порядку пишуться літери? Запам'ятати просто: як число вимовляється, так воно і записується. Вслухайтеся в назви чисел другого десятка, від 11 до 19: один-на-дцять, дві-на-дцять, три-на-дцять. т. е. один-на-десять, два-на-десять і т. д. І записується число другого десятка відповідно: спершу буква, що означає одиниці, ну, наприклад "веди" для двійки, а за нею "і десятеричная", "i" в якості десятки. Для всіх інших чисел, наприклад, "тридцять три", "двісті вісімдесят п'ять» - порядок загальний: сотні, потім десятки, потім одиниці. Якщо ж потрібно записати число, що містить тисячі (наприклад, для вказівки номера року від Різдва Христового або від Створення світу), то до букв, зазвичай означає одиниці, додається підрядковий знак, який вказує на збільшення в тисячу разів.
Позиційні системи числення
Двійкова система числення У цій системі всього дві цифри - 0 і 1. Особливу роль тут відіграє число 2 і його ступеня: 2, 4, 8 і т.д. Сама права цифра числа показує число одиниць, наступна цифра - число двійок, наступна - число четвірок і т.д. Двійкова система числення дозволяє закодувати будь-яке натуральне число - представити його у вигляді послідовності нулів та одиниць. У двійковому вигляді можна представляти не тільки числа, а й будь-яку іншу інформацію: тексти, картинки, фільми та аудіозаписи. Інженерів двійкове кодування приваблює тим, що легко реалізується технічно.
Десяткова система числення Прийшла в Європу з Індії, де вона з'явилася не пізніше VI століття н.е. У даній системі числення 10 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, але інформацію несе не тільки цифра, але і місце, на якому цифра стоїть (тобто її позиція). Сама права цифра числа показує число одиниць, друга праворуч - число десятків, наступна - число сотень і т.д. Приклад: 33310 = 3 * 100 + 3 * 10 + 3 * 1 = 300 + 30 + 3 = 3 * 102 + 3 * 101 + 3 * 100
Вісімкова система числення У цій системі числення 8 цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Цифра 1, зазначена в самому молодшому розряді, означає - як і в десятковому числі - просто одиницю. Та ж цифра 1 в наступному розряді означає 8, у наступному 64 і т.д. Число 100 (вісімкове) є не що інше, як 64 (десяткове). 3338 = 3 * 82 + 3 * 81 + 3 * 80
Шістнадцяткова система числення Запис числа в вісімковій системі числення досить компактна, але ще компактніше вона виходить в шістнадцятковій системі. Як перші 10 з 16 шістнадцяткових цифр взяті звичні цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, а ось в якості інших 6 цифр використовують перші букви латинського алфавіту: A, B, C, D, E, F. Цифра 1, записана в самому молодшому розряді, означать просто одиницю. Та ж цифра 1 в наступному - 16 (десяткове), в наступному - 256 (десяткове) і т.д. Цифра F, зазначена в самому молодшому розряді, означає 15 (десяткове). 33316 = 3 * 162 + 3 * 161 + 3 * 160
Дванадцяткова система числення Позиційна система числення з цілочисельним підставою 12. Використовуються цифри 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. дванадцяткова система числення виникла в стародавньому Шумері. Передбачається, що така система виникала виходячи з кількості фаланг пальців на руці при підрахунку їх великим пальцем тієї ж руки. Фаланги пальців використовувалися як найпростіші рахунки (поточний стан рахунку засікати великим пальцем), замість загинання пальців, прийнятого в європейській цивілізації. Деякі народи Нігерії і Тибету використовують Дванадцяткова систему числення в даний час. Дванадцяті частки часто зустрічалися і в європейських системах заходів. У римлян стандартної дробом була унція (1/12). 1 англійський пенс = 1/12 шилінга, 1 дюйм = 1/12 фута і т. Д. Перехід на Дванадцяткова систему числення пропонувався неодноразово. У XVII столітті її прихильником був знаменитий французький натураліст Бюффон. Вольтер в «Історії Карла XII» стверджує, що цей монарх готував указ про перехід на Дванадцяткова систему. За часів Великої французької революції була заснована «Революційна комісія за вагами і заходам», яка тривалий період розглядала подібний проект, однак зусиллями Лагранжа і інших супротивників реформи справу вдалося згорнути. У 1944 році було організовано «дванадцяткова суспільство Америки» (The Duodecimal Society of America), що об'єднало активних прихильників однойменної системи числення. Однак, головним аргументом проти цього завжди служили величезні витрати і неминуча плутанина при переході. Елементом Дванадцяткова системи в сучасності може служити рахунок дюжинами. Перші три ступені числа 12 мають власні назви:
Отже, ми з'ясували, що у всіх народів використовувалася система числення своя або запозичена у інших. Недоліками непозиційних систем числення є незручність виконання арифметичних і логічних операцій і труднощі під час запису і сприйнятті великих чисел.
Головною перевагою позиційних систем числення в порівнянні з непозиційних є зручність представлення чисел і простота виконання арифметичних і логічних операцій.
Недоліком позиційних систем числення є наявність межразрядних зв'язків (переносів та позичок) при виконанні арифметичних операцій над числами, тобто неможливість виконання арифметичних операцій як порозрядних (коли результат операції не залежить від її результату в інших розрядах). Незважаючи на деякі недоліки використання позиційних систем числення в наші дні найбільш актуально. Величезна кількість різної інформації, розвиток техніки, безліч нових пристроїв ... Щоб описати все це необхідна система числення з дуже потужним алфавітом і щоб її використовувати необхідно тримати в пам'яті дуже багато додаткової інформації. Ну а щоб виробляти різні математичні дії необхідно ще й багато додаткового часу, а їм, на жаль, сучасна людина не має в своєму розпорядженні. Адже навіть комп'ютер використовує всього дві цифри, а людині на сьогоднішній день досить 10. Таким чином, наша гіпотеза підтвердилася.