Рішення тригонометричних рівнянь, наближених до завдань ЄДІ
Вітаю вас, дорогі читачі!
Нарешті ми дійшли до рішення тригонометричних рівнянь. Зараз ми вирішимо кілька рівнянь, які схожі на завдання ЄДІ. Звичайно, в реальному іспиті, завдання будуть трохи складніше, але суть залишиться та ж.
Для початку розглянемо легке рівняння (подібні ми вже вирішували в минулих уроках, але повторити завжди корисно).
$$ (2 \ cos x + 1) (2 \ sin x - \ sqrt) = 0. $$
Думаю, пояснення, як вирішувати, зайві.
$$ 2 \ cos x + 1 = 0 \ text<или> 2 \ sin x - \ sqrt = 0, $$
Горизонтальним пунктиром відзначено рішення для рівняння з синусом. вертикальним - з косинусом.
Таким чином, підсумкове рішення можна записати, наприклад, так:
Тригонометричне рівняння з ОДЗ
Важлива відмінність в цьому прикладі, що в знаменнику з'явився синус. Хоча ми трохи вирішували подібні рівняння в попередніх уроках, варто зупинитися на ОДЗ детальніше.
`\ Sin x \ neq 0 \ Rightarrow x \ neq \ pi k`. Коли ми будемо відзначати рішення на колі, цю серію коренів ми відзначимо спеціально проколотими (відкритими) точками, щоб показати, що `x` не може приймати такі значення.
Наведемо до спільного знаменника, а потім по черзі прирівняємо обидві дужки до нуля.
$$ \ cos x = -1 \ text<или> \ Sin x = 1. $$
Сподіваюся, рішення цих рівнянь не викличе труднощів.
Серії коренів - рішень рівняння - показані нижче червоними крапками. ОДЗ відзначена на малюнку синім.
Таким чином, розуміємо, що рішення рівняння `\ cos x = -1` не задовольняє ОДЗ.
У відповідь піде тільки серія коренів `x = \ frac + 2 \ pi k`.
Рішення квадратного тригонометричного рівняння
Наступний пункт нашої програми - рішення квадратного рівняння. Нічого складного собою не представляє. Головне - побачити квадратне рівняння і виконати заміну як буде показано нижче.
$$ 3 \ sin ^ 2 x + \ sin x = 2, $$
$$ 3 \ sin ^ 2 x + \ sin x -2 = 0. $$
Нехай `t = \ sin x`, тоді отримаємо:
$$ t_1 = \ frac, t_2 = -1. $$
Все, що встигаю, роблю.