Додавання натуральних чисел визначається виходячи зі змісту натуральних чисел. Якщо є два натуральних числа, то їм відповідають якісь безлічі окремих предметів. Натуральне число, яке описує безліч окремих предметів, що складається з елементів обох даних множин і називається сумою двох, початково взятих натуральних чисел.
Як визначається операція віднімання натуральних чисел?
Віднімання натуральних чисел можна визначити двома способами: перший спосіб (природний) - визначення проводиться як і в разі складання виходячи зі змісту натуральних чисел. Віднімання натуральних чисел відображає ідею вилучення частини елементів якого-небудь кінцевого безлічі з безлічі всіх його елементів. Як видно з цього опису операції віднімання, вона здійсненна не завжди. Другий спосіб (формально - логічний) - визначення проводиться строго формально. Операція віднімання в цьому випадку визначається як зворотна операція для операції додавання.
Які властивості операції додавання можна спостерігати виходячи безпосередньо зі змісту натуральних чисел і сенсу операції додавання сенсу?
Такими властивостями є:
1 - переместітельності (коммутативность) n + m = m + n, складові можна ставити в будь-якому порядку
2 - сочетательність (асоціативність) (n + m) + k = m + (n + k), складові можна розбивати на групи будь-яким способом
3 - властивість нуля n + 0 = n при додаванні до будь-якого числа нуля сума буде дорівнює тому самому числу
Чи можна математично довести коммутативность, асоціативність додавання і властивість нуля по відношенню до складання?
Переконатися в справедливості цих властивостей можливо тільки зі змісту натуральних чисел і операції додавання. Довести ці властивості спираючись на деякі, більш прості твердження не можна.
Як визначається операція множення натуральних чисел? Чи можна сказати, що операція множення є логічною конструкцією виготовленої
Виготовленої за допомогою операції додавання?
Так можна. Операція множення визначається як сувора формальна конструкція і вдає із себе багаторазове складання.
Чи можна сказати, що числа що беруть участь в операції множення мають однаковий сенс, як це має місце при операції додавання?
Який сенс сомножителей при множенні натуральних чисел?
Ні, так сказати не можна. Сенс сомножителей при операції множення різний. Операція множення визначається як багаторазове
складання: один співмножник позначає деяке натуральне число, інший співмножник показує скільки разів це число виступає складовою при
багаторазовому додаванні. При додаванні обидва доданків означають одне і те ж. Наприклад: складаються яблука і яблука. При множенні, якщо перший
співмножник позначає яблука, то другий - не яблука, а кількість разів, яке, дана кількість яблук береться в якості доданка при багаторазовому
підсумовуванні або, наприклад, число тарілок, в кожній з яких однакова кількість яблук.
Які головні 4 властивості операції множення натуральних чисел?
1 - переместітельності (коммутативность) n * m = m * n, співмножники можна ставити в будь-якому порядку
2 - сочетательність (асоціативність) (n * m) * k = m * (n * k), співмножники можна розбивати на групи будь-яким способом
3 - властивість нуля 0 * n = 0 при множенні нуля на будь-яке число отримуємо нуль
4 - властивість одиниці 1 * n = n при множенні одиниці на будь-яке число отримуємо саме це число
Як можна переконатися в справедливості 4-х головних властивостей множення натуральних чисел. Чи можна їх математично довести?
Переконатися в справедливості цих властивостей можна шляхом спостереження за конкретними множинами, описаними співмножники n і m,
при певному розташуванні цих множин в просторі. Довести ці властивості спираючись на деякі, більш прості твердження не можна.