Якщо шукане рішення дійсно є гармонійної функцією, то після підстановки в рівняння (401) її значення, а також похідних від неї, ми повинні отримати тотожність:
Очевидно, що амплітуда коливань а не може дорівнювати нулю, не може бути рівним нулю в будь-який момент часу і значення синуса, тому
Вирішуючи це біквадратне рівняння, отримуємо, що
Цей результат означає, що коливання другого тіла системи являють собою суперпозицію двох гармонійних коливань з частотами. обумовленими рівністю (402):
З огляду на це, можемо визначити і закон руху для першого тіла системи, як було
Використовуючи ці вирази, можна отримати конкретні закони руху тіл системи при певних конкретних умовах.
а). Перше тіло системи відводиться від свого положення рівноваги на, а друге -на А від його положення рівноваги в ту ж сторону, що і попереднє. Потім обидва тіла без поштовху відпускаються. Значення початкових зсувів і швидкостей тіл в цьому випадку рівні
З виразу (403) випливає, що амплітуда першої гармонійної складової дорівнює нулю, тобто коливання кожного тіла відбуваються за гармонійним законом з однаковою частотою. Амплітуду b визначаємо з (404): b = А, а початкову фазу - з (406): При таких значеннях амплітуди і початкової фази закони коливань тел мають вигляд:
6). Перше тіло системи відводиться від свого положення рівноваги на, а друге - на А від його положення рівноваги в ту ж сторону, що і попереднє. Потім обидва тіла без поштовху відпускаються. Значення початкових зсувів і швидкостей тіл для такого випадку рівні.
З (404) випливає, що в цьому випадку амплітуда вже другий гармонійної складає звертається в нуль. Отже, і в цьому випадку обидва тіла здійснюють гармонійні коливання. На цей раз з частотою. Амплітуду коливань а визначаємо з (483), а початкову фазу. З (405): а = А,.
Підставивши значення амплітуд і початкових фаз в загальні вирази для зміщень тел, отримаємо закони їх руху:
в). Обидва тіла відводяться від своїх положень рівноваги на однакові відстані А в одну сторону і потім без поштовху відпускаються. Значення початкових зсувів і швидкостей тіл в цьому випадку рівні. .
З виразів (403), (404), (405) і (406) знаходимо значення амплітуд складових і початкові фази:
Підставивши значення амплітуд і початкових фаз в загальні вирази для зміщень тел, отримаємо закони руху у вигляді:
Аналізуючи отримані для трьох типів початкових умов результати, можна відзначити деякі характерні для коливальних систем з декількома ступенями свободи закономірності.
1. В коливальній системі з декількома ступенями свободи можна так підібрати початкові умови, що система буде робити одне з головних (нормальних) коливань, тобто тіла системи будуть здійснювати гармонічні коливання з однією з головних (нормальних) частот.
2. У кожному з нормальних коливань амплітуди знаходяться в постійному відношенні, яке не залежить від початкових умов, а визначається параметрами системи, хоча самі окремі амплітуди визначаються з початкових умов.
3. Наступну характерну особливість коливальних систем з декількома ступенями
волі можна помітити, порівнюючи парціальні і нормальні частоти коливань.
Частоти парціальних коливань системи, як було зазначено вище, рівні:
Що стосується нормальних частот, то їх зручно виразити з (402), з огляду на співвідношення
З останніх співвідношень знаходимо значення:
Звідси отримуємо значення нормальних частот:
Порівнюючи парціальні частоти з однією з нормальних частот. отримаємо:
Отже, обидві парціальні частоти менше частоти нормальних
коливань Точно так же порівнюємо значення парціальних частот з іншого нормальною частотою -.
Таким чином, обидві парціальні частоти більше другий нормальної частоти. Звідси можна сформулювати наступну характерну особливість коливальних систем з декількома ступенями свободи: значення парціальних частот укладені в проміжку між значеннями нормальних частот.