Комплексне число в тригонометричної формі: z = | z | [cos (# 966; + 2πk) + i sin (# 966; + 2πk)]
Комплексне число в показовою формі: z = | z | e i # 966;
кут # 966; називають аргументом числа z і позначають Arg (z).
Комплексне число має бути представлено в алгебраїчне формі z = x + i * y.
Якщо 0 ≤ arg z ≤ 2π:
Дії з комплексними числами
Додавання комплексних чисел (окремо складаються дійсні та уявні частини)
Віднімання комплексних чисел (окремо віднімаються дійсні та уявні частини)
Множення комплексних чисел
Розподіл комплексних чисел (підвести під спільний знаменник)
При множенні двох комплексних чисел в тригонометричної формі їх модулі перемножуються, а аргументи складаються. При розподілі комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються.
z1 = r1 (cos # 966; 1 + i sin # 966; 1), z2 = r2 (cos # 966; 2 + i sin # 966; 2)
тоді
z1 · z2 = r1 r2 [cos (# 966; 1 + # 966; 2) + i sin (# 966; 1 + # 966; 2)]
Що робити, якщо задано складне комплексне вираз. Його можна спростити за допомогою наступного правила. наприклад:
Необхідно помножити дріб на поєднане вираз (2 - i).
Зведення в ступінь. Формула Муавра
При зведенні комплексного числа в натуральну ступінь, модуль зводиться до цього степеня, а аргумент множиться на показник ступеня.
Приклад. знайти
Рішення.
= 2 18 (cos 6π + i sin 6π) = 2 18 = 262144
Що робити, якщо комплексне число необхідно звести у велику ступінь. Наприклад: (1 + i) 988. Досить це комплексне число спочатку звести до другого степеня: (1 + i) 2 = 2i, а потім 2i 988/2 = 2i 494 = 2 494 i 494 = 2 494 (-1) 247 = -2 494
Всі обчислення з комплексними числами можна перевірити в он-лайн режимі. Примітка.- abs - модуль комплексного числа | z |. Приклад: abs (-5.5-6.6i)
- arg - аргумент комплексного числа φ. Приклад: arg (5.5 + 6.6i)
Приклад №1. Записати комплексне число в тригонометричної формі.
де # 966; = Arctg ((- 4) / (- 1));алгоритм
- знаходимо кут # 966 ;.
- знаходимо модуль | z | = Sqrt (x 2 + y 2).
1. Знаходимо тригонометричну форму комплексного числа z = -1-4i
Дійсна частина комплексного числа: x = Re (z) = -1
Уявна частина: y = Im (z) = -4
Модуль комплексного числа дорівнює:
оскільки x <0, y <0, то arg(z) находим как:
Таким чином, тригонометрическая форма комплексного числа z = -1-4i
2. Знаходимо показову форму комплексного числа
Приклад №2. Як з тригонометричної форми комплексного числа перетворити в алгебраїчну форму.
Модуль комплексного числа дорівнює 2, тобто.
або x 2 + y 2 = 4
Аргумент комплексного числа
або
Отримуємо систему з двох рівнянь
Висловимо і підставимо в перше вираження
Оскільки, то отримуємо
або або
Алгебраїчна форма числа