де носить назву дійсної частини або реальної частини і позначається. а носить назву уявної частини і позначається як. Графічно все безліч дійсних чисел можна представити на нескінченній числової прямої, при цьому комплексні числа можна трактувати як розширення числової прямої до комплексної площині, а кожне комплексне число можна представити як точку на комплексній площині (дивись малюнок 1). При цьому всі безліч дійсних чисел буде представлятися прямий на комплексній площині.
Малюнок 1: Подання комплексного числа на площині
Комплексна плосктость ділиться прямими реальної частини (прямий дійсних чисел) і прямий уявних чисел на чотири чверті. Будь-яке комплексне число. буде представлятися точкою на комплексній площині з координатами і. Якщо число не містить уявної частини, то воно дійсне і знаходиться на прямій. а якщо число не містить реальної частини, то воно називається чисто уявним і знаходиться на осі.
Якщо з початку координат комплексної площині до точки відновити вектор, то можна обчислити довжину цього вектора як
Малюнок 2: Обчислення кута повороту вектора комплексного числа
Для того щоб зрозуміти сенс функції розглянемо чотири варіанти як це показано на малюнку 2.
Малюнок 2.а. . і. вектор в першій чверті площини. В цьому випадку і
Малюнок 2.б. . і вектор у другій чверті площини. В цьому випадку . Позначимо, тоді. кут знаходиться в четвертій чверті а кут у другій. Для того щоб отримати кут необхідно, тобто
Малюнок 2.в. . і вектор в третій чверті площини. В цьому випадку . Позначимо, тоді. кут знаходиться в першій чверті а кут в третій. Для того щоб отримати кут необхідно, тобто
Малюнок 2.г. . і вектор в четвертій чверті площини. В цьому випадку . Позначимо, тоді. кут знаходиться як і кут в четвертій чверті отже вони рівні, тобто і
Функція яка дозволяє отримати кут c урахуванням чверті комплексної площини в якій розташований вектор називається функція арктангенс-2 і позначається. Функція арктангенс-2 присутнє у всіх математичних додатках і може бути використана для розрахунку вірного кута повороту вектора комплексного числа.
Існує також показова форма комплексного числа пов'язана з тригонометричної за формулою Ейлера:
При перемножуванні в показовою формі модулі комплексних чіслел перемножуються а фази складаються. На векторній діаграмі це можна представити таким чином (рисунок 5):
Малюнок 5: Множення комплексних чисел
При перемножуванні результуючий вектор повертається і його довжина змінюється.
Виходячи з виразу (15), множення комплексного числа на чисто уявне число призводить до повороту вектора на 90 градусів проти годинникової стрілки (до фази додається 90 градусів). При цьому з виразу (16) випливає що множення комплексного числа на -1 призводить повороту фази на кут 180 градусів (вектор відбивається щодо 0). Це дуже важливе зауваження, так як ємності і індуктивності мають чисто уявні споротівленія і служать для повороту вектора комплесного сигналу, в той же час поворот фази на 180 градусів дозволяє сформувати фазоманіпулірованние сигнали.
Необхідно зробити ще одне зауваження: числа і називаються комплексно-сполученими. При цьому комплексно-поєднане число позначається рисою Згідно виразами (3) і (7) їх модулі рівні, а фази рівні по модулю але мають протилежні знаки: