Поняття функції, зворотної показовою функції, як і в дійсній області, пов'язане з поняттям логарифма числа.
Логарифмом комплексного числа називається число таке, що справедливо рівність; позначається. Таким чином, .
Для знаходження логарифма числа. тобто для знаходження дійсної і уявної частин числа. запишемо число в показовою формі, а число будемо шукати в алгебраїчній формі:.
Тоді рівність або є рівність чисел, записаних в показовою формі, і з нього знаходимо. тобто . Для шуканого числа отримуємо вираз:
З цього випливає, що логарифм комплексного числа визначається неоднозначно; отриманий вираз визначає безліч значень логарифма даного числа; позначається
Для кожного фіксованого значення отримуємо певну кількість - значення логарифма числа; якщо воно називається головним значенням логарифма:
Приклад 1. Знайти - головні значення і для наступних чисел:
Рішення. а). . . Тоді за формулою (6.2). а за формулою (6.1). .
б). . . Тоді за формулою (6.2). а за формулою (6.1). .
Приклад 2. Знайти модуль, аргумент, дійсну і уявну частини числа.
Рішення. Знайдемо модуль і аргумент числа. . .
За формулою (6.2) отримуємо. Тому. . .
Так як і. то точка, відповідна числу розташована в першій чверті і, отже,.
Зауваження 1. Введення поняття логарифма числа дозволяє визначити в комплексній області ступінь з будь-яким комплексним показником і показову функцію з будь-яким комплексним підставою.
При і. де - натуральне число, ступеня і розглянуті вище; при і. де - ціле число. визначення до також очевидно.
У загальному випадку при будь-якому комплексному ступінь визначається формулою
Аналогічно вводиться функція з будь-яким комплексним підставою
В силу нескінченної значности логарифма, кожному числу відповідає безліч значень ступеня. яка визначається за формулою (6.3), і безліч чисел, що визначаються за формулою (6.4) при. Серед цих множин виділяються головні значення, які відповідають головним значенням логарифмів.
Приклад 3. Показати, що вираз приймає тільки дійсні значення.
Рішення. Використовуємо формулу (6.4). Знайдемо значення.
,. Тому дійсне число при будь-якому.
Приклад 4. Знайти. де - корінь рівняння. задовольняє умові.
Рішення. Коренем рівняння є числа вищезгаданих стандартних умов задовольняє. Для знайденого кореня. . тоді. Тому відповідь.
Зауваження 2. Введення поняття логарифма комплексного числа дозволяє вирішувати в комплексній області показові рівняння. Найпростішим таким рівнянням є рівняння виду. Рішення цього рівняння зводиться до знаходження значень виразу. тобто .
Приклад 5. Розв'язати рівняння.
Рішення .. отримуємо. де.
Приклад 6. Знайти з рівняння.
Рішення. Використовуємо формулу. тоді маємо рівняння. яке зводиться до квадратного рівняння. Коріння квадратного рівняння і. тоді і
Геометрично це точки, що лежать на прямих і паралельних уявної осі, відстань між якими дорівнює.
Як бачимо, логарифмічна функція вводиться, як функція, обернена до показової, тобто як рішення рівняння. значення функції при будь-якому визначаються за формулою (6.1).
Функція, очевидно, багатозначна і відображає площину на кожну зі смуг:
У площині з розрізом по променю можливе виділення однозначних гілок, кожна з яких однозначно відображає цю площину на одну зі смуг. зокрема функція - головне значення логарифмічною функції відображає площину на смугу (див. рис. 6.1).