Показова форма запису комплексного числа.
Скориставшись тим, що, запишемо комплексне число z
Після першого знака рівності варто алгебраїчна, після другого знака рівності - тригонометрическая, а після третього знака рівності - показова форма запису комплексного числа. При цьому в показовою формі записи знову явно вказані модуль і аргумент комплексного числа.
Тепер розглянемо рівняння:
і вирішимо його щодо w. .
Отримана формула для обчислення логарифма комплексного числа. Відзначимо що, будь-яке комплексне число (крім нуля) має логарифм, причому цих значень нескінченно багато.
І, нарешті, можна ввести операцію зведення комплексного числа (не дорівнює нулю) в довільну комплексну ступінь:.
*. У всіх рішеннях:.
Зробимо кілька зауважень, що стосуються наведених вище рішень.
*. У задачі 1 отримано п'ять різних рішень розташованих на колі радіуса в вершинах правильного п'ятикутника.
*. У задачі 2 нескінченно багато рішень. Всі вони розташовані на промені і по модулю утворюють нескінченну в обидві сторони геометричну послідовність зі знаменником.
*. У задачі 3 всі рішення розташовані на окружності радіуса і покривають її всюди щільним чином.
*. У задачі 4 рішення розташовані на спіралі і всюди щільним чином заповнюють напрямки в яких вони знаходяться.
*. Завдання 5. Дивовижний факт: чисто уявне число в чисто уявної ступеня є безліч речових позитивних чисел.
*. Завдання 6. І все таки двічі по два дорівнює чотири.