так як синус і косинус не залежить від збільшення кута, кратного
А це рівність вже очевидно, так як це і є тригонометрическая форма комплексного числа.
Таким чином, логарифм існує для всіх точок в площині, за винятком нуля. Для дійсного позитивного числа, аргумент дорівнює 0, тому це безліч точок має вигляд. тобто одне зі значень, а саме, при. потрапить на дійсну вісь. Якщо обчислювати логарифм негативного числа, то отримаємо. тобто набір точок зрушать вгору і жодна з них не потрапляє на дійсну вісь.
З формули видно, що тільки при нульовому аргументі вихідного числа одне зі значень логарифма потрапляє на дійсну вісь. А це відповідає правій півосі, і саме тому в курсі шкільної математики розглядали тільки логарифми позитивних чисел. Логарифми негативних і уявних чисел також існують, але у них немає жодного значення на дійсній осі.
На наступному кресленні показано, де в площині розташовані всі значення логарифма позитивного числа. Одне з них на дійсній осі, інші вище і нижче на. . і так далі. Для негативного або комплексного числа, аргумент відрізняється від нуля, тому відбувається зрушення цієї послідовності точок по вертикалі, в результаті чого на дійсній осі не буде жодної точки.
Рішення. Визначимо модуль числа (дорівнює 2) і аргумент 180 0. тобто. Тоді =.
Додаток 1. Питання на докази (для квитків).
1. Доведіть формулу інтегрування частинами.
1. Довести, що заміна. де r = НОК (r1. rk) зводить інтеграл до інтеграла від раціонального дробу.
2. Довести, що заміна заміна зводить інтеграл виду до інтеграла від раціонального дробу.
3. Вивести формули перетворення синуса і косинуса
для універсальної тригонометричної заміни.
4. Довести, що в разі, коли функція непарна відносно косинуса, заміна зводить інтеграл до раціонального дробу.
5. Довести, що в разі, коли
заміна: зводить інтеграл до раціонального дробу.
6. Довести, що для інтеграла виду заміна своіт інтеграл до раціонального дробу.
7. Довести формулу
8. Довести, що для інтеграла виду заміна своіт інтеграл до раціонального дробу.
9. Довести, що для інтеграла виду заміна зводить інтеграл до раціонального дробу.
1. Довести, що функція є первісною від функції.
2. Довести формулу Ньютона-Лейбніца:.
3. Довести формулу довжини явно заданої кривої:
4. Довести формулу довжини кривої, заданої в полярних координатах
Доведіть теорему: сходиться. сходиться.
1. Вивести (довести) формулу площі явно заданої поверхні.
2. Висновок формул переходу до полярних координат.
3. Висновок визначника Якобі полярних координат.
4. Висновок формул переходу до циліндричних координат.
5. Висновок визначника Якобі циліндричних координат.
6. Висновок формул переходу до сферичних координат:
1. Довести, що заміна зводить однорідне рівняння до рівняння із перемінними.
2. Вивести загальний вигляд рішення лінійного однорідного рівняння.
3. Вивести загальний вигляд рішення лінійного неоднорідного рівняння методом Лагранжа.
4. Довести, що заміна зводить рівняння Бернуллі до лінійного рівняння.
1. Довести, що заміна знижує на k порядок рівняння.
2. Довести, що заміна знижує на одиницю порядок рівняння.
3. Довести теорему: Функція є рішенням лінійного однорідного диференціального рівняння є характеристичний корінь.
4. Довести теорему про те, що лінійна комбінація рішень лінійного однорідного дифф. рівняння теж є його рішення.
5. Довести теорему про накладення рішень: Якщо - рішення лінійного неоднорідного діфф.уравненія з правою частиною. а - рішення такого ж діфф.уравненія, але з правою частиною. то сума є рішенням рівняння з правою частиною.
1. Довести теорему про те, що система функцій лінійно-залежна.
2. Довести теорему про те, що існує n лінійно-незалежних розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння порядку n.
3. Довести, що якщо 0 є коренем кратності. то система рішень, що відповідають цьому корені, має вигляд.
1. Довести за допомогою показовою форми, що при множенні комплексних чисел модулі множаться, а аргументи складаються.
2. Довести формулу Муавра для ступеня n
3. Довести формулу кореня порядку n комплексного числа
4. Довести, що і
є узагальненнями синуса і косинуса, тобто для дійсних чисел за цими формулами вийде синус (косинус).
5. Довести формулу логарифма комплексного числа:
Дрібні і усні запитання на знання теорії (для колоквіумів).
1. Що таке первісна і невизначений інтеграл, чим вони відрізняються?
2. Пояснити, чому теж є первісною.
3. Напишіть формулу інтегрування частинами.
4. Яка заміна потрібна в інтегралі виду і яким чином вона усуває коріння?
5. Запишіть вид розкладання підінтегральної раціонального дробу на найпростіші в разі, коли всі корені різні і дійсні.
6. Запишіть вид розкладання підінтегральної раціонального дробу на найпростіші в разі, коли всі корені дійсні, і є один кратний корінь кратності k.
1. Напишіть, яке розкладання раціонального дробу на найпростіші в разі, коли в знаменнику є множник 2 ступеня з негативним дискримінантом.
2. Яка заміна зводить інтеграл до раціональної дробу?
3. Що такі універсальна тригонометрическая підстановка?
4. Які заміни проводяться у випадках, коли функція під знаком інтеграла непарна відносно синуса (косинуса)?
5. Які заміни виробляються в разі наявності в підінтегральної функції виразів. . або.
1. Визначення певного інтеграла.
2. Перелічіть деякі з основних властивостей певного інтеграла.
3. Напишіть формулу Ньютона-Лейбніца.
4. Напишіть формулу обсягу тіла обертання.
5. Напишіть формулу довжини явно заданої кривої.
6. Напишіть формулу довжини параметрически заданої кривої.
1. Визначення невласного інтеграла (за допомогою межі).
2. Чим відрізняються невласні інтеграли 1 та 2 роду.
3. Наведіть прості приклади сходяться інтегралів 1 і 2 роду.
4. За яких сходяться інтеграли (Т1).
5. Як збіжність пов'язана з кінцевим межею первісної (Т2)
6. Що таке необхідний ознака збіжності, його формулювання.
7. Ознака порівняння в кінцевій формі
8. Ознака порівняння в граничній формі.
9. Визначення кратного інтеграла.
1. Зміна порядку інтегрування, показати на простому прикладі.
2. Напишіть формулу площі поверхні.
3. Що таке полярні координати, напишіть формули переходу.
4. Чому дорівнює якобіан полярної системи координат?
5. Що таке циліндричні і сферичні координати, в чому їх відмінність.
6. Чому дорівнює якобіан циліндричних (сферичних) координат.
1. Що таке диференціальне рівняння 1 порядку (загальний вигляд).
2. Що таке диференціальне рівняння 1 порядку, дозволене відносно похідної. Наведіть який-небудь приклад.
3. Що таке рівняння із перемінними.
4. Що таке загальне, приватне рішення, умови Коші.
5. Що таке однорідне рівняння, який загальний метод його рішення.
6. Що таке лінійне рівняння, в чому полягає алгоритм його рішення, що таке метод Лагранжа.
7. Що таке рівняння Бернуллі, алгоритм його рішення.
1. Яка заміна необхідна для рівняння виду.
2. Яка заміна необхідна для рівняння виду.
3. Покажіть на прикладах, як можна виразити у вигляді.
4. Що таке лінійне диференціальне рівняння порядку n.
5. Що таке характеристичний многочлен, характеристичне рівняння.
6. Сформулювати теорему про те, при якому r функція є рішенням лінійного однорідного диференціального рівняння.
7. Сформулювати теорему про те, що лінійна комбінація рішень лінійного однорідного рівняння теж є його рішення.
8. Сформулювати теорему про накладення рішень і слідства з неї.
9. Що таке лінійно-залежна і лінійно-незалежна системи функцій, привести якісь приклади.
10. Що таке визначник Вронського системи з n функцій, наведіть приклад визначника Вронського для ЛЗС і ЛНС систем.
1. Яким властивістю володіє визначник Вронського, якщо система функція лінійно-завіміма.
2. Скільки існує лінійно-незалежних розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння порядку n.
3. Визначення ФСР (фундаментальної системи рішень) лінійного однорідного рівняння порядку n.
4. Скільки функцій міститься в ФСР?
5. Запишіть вид системи рівнянь для знаходження методом Лагранжа при n = 2.
6. Запишіть вид приватного рішення в разі, коли
7. Що таке лінійна система диференціальних рівнянь, напишіть який-небудь приклад.
8. Що таке автономна система диференціальних рівнянь.
9. Фізичний сенс системи диференціальних рівнянь.
10. Запишіть, з яких функцій складається ФСР системи рівнянь, якщо відомі власні числа і власні вектори основної матриці цієї системи.
1. Що таке уявна одиниця.
2. Що таке поєднане число і що вийде при його збільшенні на вихідне.
3. Що таке тригонометрическая, показова форма комплексного числа.
4. Напишіть формулу Ейлера.
5. Що таке модуль, аргумент комплексного числа.
6. що відбувається з модулями і аргументами при множенні (діленні).
7. Напишіть формулу Муавра для ступеня n.
8. Напишіть формулу кореня порядку n.
9. Напишіть формули узагальнених синуса і косинуса для комплексного аргументу.
10. Напишіть формулу логарифма комплексного числа.
Додаток 3. Завдання з лекцій.