Кореляційна функція випадкової функції є невід'ємне певною функцією.
Кореляційна функція випадкової функції і некорельованої з нею випадкової величини дорівнює сумі кореляційної функції випадкової функції і дисперсії випадкової величини.
Кореляційна функція випадкової функції дорівнює кореляційної функції центрованої функції Сем.
Кореляційна функція випадкової функції і некорельованої з нею випадкової величини дорівнює сумі кореляційної функції випадкової функції і дисперсії випадкової величини.
Кореляційна функція випадкової функції X (t) є невипадкова функція двох аргументів Кх (t, t), яка при кожній парі значень t, t дорівнює кореляційному моменту відповідних перетинів випадкової функції.
Кореляційної функцією випадкової функції X (t) називається невипадкова функція двох аргументів кх (t, t), яка при кожній парі значень t і t дорівнює кореляційному моменту відповідних значень випадкової функції.
Кореляційної функцією випадкової функції X (t) називається невипадкова функція двох аргументів кх (t, t), яка при кожній парі значень tut дорівнює кореляційному моменту відповідних значень випадкової функції.
Тому кореляційна функція випадкової функції на виході системи, що характеризується оператором L, якщо на її вхід надходить випадкова функція X (t), дорівнює результату подвійного додатка оператора L до кореляційної функції X (t) спочатку по одному, а потім по іншому її аргументу.
Задана кореляційна функція випадкової функції X (t), Знайти взаємну кореляційну функцію R JZ випадкових функцій Y (t) - aX (t) bX (t) і Z (t) - cX (t) dX (t), де a, b , з, d - постійні дійсні числа.
Знайти кореляційну функцію випадкової функції: a) Y (t) X (t) - (t 1); б) Z (t) CX (t), де С - постійна.
Знайти кореляційну функцію випадкової функції: a) Y (t) X (0 (1); б) Z (0 CX (/), де С-постійна.
Знайти кореляційну функцію випадкової функції Z t) X t) Y (t), якщо розглянуті функції: а) корре-ліровать; б) корельовані.
Знайти кореляційну функцію випадкової функції U (t) ів X (t) y (t) - t - Z (t), якщо розглянуті функції: а) попарно корельовані; б) попарно НЕ корельовані.
Знайти кореляційну функцію випадкової функції X ((), яка може приймати два значення: - J-1 і - 1; число змін знаку функції підпорядковується закону Пуассона з постійною тимчасової щільністю Я, а х (t) можна вважати рівним нулю.
Знайти кореляційну функцію випадкової функції Z (t) - X (t) - - Y (t), якщо розглянуті функції: а) корре-ліровать; б) корельовані.
Знайти кореляційну функцію випадкової функції U (t) X (t) Y (i) - i - Z (t), якщо розглянуті функції: а) попарно коереліровани; б) попарно НЕ корельовані.
Визначимо кореляційну функцію елементарної випадкової функції.
Знайти кореляційну функцію випадкової функції Z (t) - Х (/) К (0 якщо розглянуті функції: а) корре-ліровать; б) корельовані.
Знайти кореляційну функцію випадкової функції U (t) - s X (t) Y (t) Z (t) t якщо розглянуті функції: а) попарно корельовані; б) попарно НЕ корельовані.
Отже, кореляційна функція випадкової функції Z (t) залежить тільки від різниці аргументів, а її математичне очікування постійно.
Згідно з визначенням кореляційної функції випадкової функції і взаємної кореляційної функції двох випадкових функцій в лівій частині рівняння (10.45) маємо кореляційну функцію вхідний випадкової функції X (s), а в правій частині - взаємну кореляційну функцію вихідний Y (t) і вхідний X (s) випадкових функцій.
Отже, кореляційної функцією випадкової функції X (t) називається невипадкова функція двох аргументів Кх (ti, t2), яка при парі значень і t2 дорівнює кореляційному моменту відповідних перетинів випадкового процесу.
Відомо, що кореляційна функція похідної будь диференціюється випадкової функції дорівнює другий змішаної похідної від її кореляційної функції (див. Гл.
Ця формула виражає кореляційну функцію комплексної випадкової функції через кореляційні функції і кореляційні функції зв'язку її дійсної і уявної частин.
З іншого боку, кореляційна функція випадкової функції при рівних значеннях її аргументу дорівнює її дисперсії.
Визначимо математичне сподівання і кореляційну функцію випадкової функції Y (t), що є результатом впливу лінійного оператора L на функцію X (t) з відомими характеристиками.
Подібним же чином може бути визначена кореляційна функція випадкової функції на виході системи, якщо остання утворюється двома випадковими функціями Xt (t) і Х2 (t), які надходять на різні входи системи.
Викладені вище способи визначення математичного очікування і кореляційної функції випадкової функції на виході динамічної системи в разі операторів складного виду часто виявляються нераціональними.
Кореляційна функція випадкової функції і некорельованої з нею випадкової величини дорівнює сумі кореляційної функції випадкової функції і дисперсії випадкової величини.
Таким чином, кореляційна функція інтеграла від випадкової функції дорівнює подвійному інтегралу від кореляційної функції вихідної випадкової функції.
Мх (т) і Kx (t, t) - математичне очікування і кореляційна функція випадкової функції X (t), індекс у оператора А в цій формулі вказує, що цей оператор діє над функцією даного аргументу при фіксованому значенні всіх інших змінних. Ці формули можна застосувати й до векторних випадковим функцій.
Згідно з визначенням кореляційної функції випадкової функції і взаємної кореляційної функції двох випадкових функцій в лівій частині рівняння (10.45) маємо кореляційну функцію вхідний випадкової функції X (s), а в правій частині - взаємну кореляційну функцію вихідний Y (t) і вхідний X (s) випадкових функцій.
Про мають абсолютно різні кореляційні функції. Кореляційна функція випадкової функції Xl (t) (див. Рис. 2.3, а) повільно зменшується в міру збільшення проміжку (t, t); навпаки, кореляційна функція випадкової функції Х2 (О (див - Рис - 2.3, б) швидко убуває зі збільшенням цього проміжку.
У завданнях першого типу потрібно визначити кореляційну функцію випадкової функції, використавши властивості її ординат, або встановити загальні властивості кореляційної функції. При вирішенні цих завдань потрібно безпосередньо виходити з визначення кореляційної функції. У завданнях другого типу потрібно знайти ймовірність того, що ординати випадкової функції візьмуть певні значення. Для вирішення цих завдань необхідно скористатися відповідним нормальним законом розподілу, що визначаються математичним очікуванням і кореляційною функцією.
У завданнях першого типу потрібно визначити кореляційну функцію випадкової функції, використавши властивості її ординат, або встановити загальні властивості кореляційної функції. При вирішенні цих завдань потрібно безпосередньо виходити з визначення кореляційної функції. У завданнях другого типу потрібно знайти ймовірність того, що ординати нормальної випадкової функції візьмуть певні значення. Для вирішення цих завдань необхідно скористатися відповідним нормальним законом розподілу, що визначаються математичним очікуванням і кореляційною функцією.
З'ясуємо, як перетворюються математичні очікування і кореляційні функції випадкових функцій при здійсненні над ними лінійних операцій.
З'ясуємо, як перетворюються математичні очікування і кореляційні функції випадкових функцій при здійсненні над ними лінійних операцій.
У додатку часто виявляється зручним розглядати комплексні випадкові функції. Тому нам необхідно визначити математичне очікування і кореляційну функцію комплексної випадкової функції.
Така еквівалентна в імовірнісному сенсі лінеаризоване залежність між випадковими функціями повинна визначатися на підставі того, щоб у вихідній функції і у апроксимуючої були досить близькі відповідно математичні очікування і кореляційні функції. Точність даного методу залежить від точності апроксимації математичного очікування і кореляційної функції нелінійно перетвореної випадкової функції. Другий критерій апроксимації випадкових функцій полягає у виконанні умови мінімуму математичного очікування квадрата різниці істинної і апроксимуючої випадкової функцій.
Про мають абсолютно різні кореляційні функції. Кореляційна функція випадкової функції Xl (t) (див. Рис. 2.3, а) повільно зменшується в міру збільшення проміжку (t, t); навпаки, кореляційна функція випадкової функції Х2 (О (див - Рис - 2.3, б) швидко убуває зі збільшенням цього проміжку.
У більшості практичних задач теорії випадкових функцій досить знання математичного очікування і кореляційної функції. Однак існують завдання, для точного рішення яких недостатньо знати математичне очікування і кореляційну функцію. Так, наприклад, для точного визначення математичного очікування і кореляційної функції випадкової функції на виході істотно нелінійної системи необхідно задати моменти вищих порядків випадкової функції на вході системи.
Стаціонарно пов'язані випадкові функції. Кореляційна функція стаціонарного випадкового функції залежить від однієї змінної ti - ti. Якщо в равенствах (14) - (20) § 65, що визначають властивості кореляційної функції випадкової функції, покласти - 2 т, то отримаємо такі властивості для кореляційної функції стаціонарної випадкової функції.
Стаціонарно пов'язані випадкові функції. Кореляційна функція стаціонарного випадкового функції залежить від однієї змінної / j - / ат. Якщо в равенствах (14) - (20) § 65, що визначають властивості кореляційної функції випадкової функції, покласти / 1 - 2 т, то отримаємо такі властивості для кореляційної функції стаціонарної випадкової функції.
При використанні для градуювання зразкових приладів прямого виміру точність методу не може бути вищою за номінальну точності градуйованого приладу, так як свідчення останнього в процесі градуювання містять властиві приладу похибки. Використання ж непрямих методів вимірювання середніх значень витрат дозволяє істотно підвищити точність градуювання. Дійсно, свідчення витратоміра в процесі одного пропуску через нього вимірюваного речовини являє собою одну з можливих реалізацій випадкової функції часу. Флуктуації показань біля середнього значення викликаються різного роду збуреннями, які впливають на витратомір і установку, на якій проводиться його градуювання. Якщо ця випадкова функція має ергодичним властивістю (5.1), то середні за часом значення її реалізації прагнуть при збільшенні часу випробування до математичного сподівання. Фізичне пояснення цього полягає в наступному. Кореляційна функція стаціонарного ергодичної випадкової функції прагне до нуля (за абсолютною величиною) при збільшенні її аргументу. Відокремлені один від одного інтервалом кореляції послідовні значення, що приймаються випадковою функцією, можна вважати незалежними один від одного і розглядати як результати ряду послідовних незалежних дослідів.