Знакоопределенность квадратичної форми можна встановити, досліджуючи головні мінори матриці. Такий спосіб називається критерієм Сильвестра:
Дійсна квадратична форма є позитивно певної тоді і тільки тоді, коли всі головні мінори її матриці позитивні:
Дійсна квадратична форма є негативно визначеною тоді і тільки тоді, коли знаки головного мінору її матриці чергуються, причому:
Приклад. Методом Лагранжа знайти нормальний вигляд і невироджене перетворення, що приводить до цього виду, для наступної квадратичної форми.
Рішення. Метод Лагранжа полягає у виділенні повних квадратів по всім змінним:
Тоді вихідна квадратична форма може бути приведена до канонічного вигляду:
отримаємо нормальний вигляд квадратичної форми
Відповідь: Квадратична форма
може бути приведена до нормального вигляду
за допомогою невиродженого перетворення