Квадратні пірамідальні числа можуть бути обчислені за формулою:
Це окремий випадок формули Фаулхабера (англ.) Рос. який може бути доведений методом прямої математичної індукції. Еквівалентна формула наводиться в «Книзі абака» (лат. Liber abaci) Фібоначчі.
У сучасній математиці, формалізація фігурних чисел відбувається за допомогою многочленів Ерхарт (англ.) Рос. Многочлен Ерхарт L (P, t) багатогранника P - многочлен. який підраховує кількість цілих точок в копії багатогранника P. який збільшується шляхом множення всіх його координат на число t. Многочлен Ерхарт піраміди, підставою якої є квадрат зі стороною 1 з цілими координатами, і вершина якої знаходиться на висоті 1 над підставою, обчислюється за формулою: [1]
виробляє функція
Виробляє функція для квадратних пірамідальних чисел має вигляд:
Зв'язок з іншими фігурними числами
Квадратні пірамідальні числа можуть бути також виражені у вигляді суми біномінальної коефіцієнт:
Біноміальні коефіцієнти, що виникають в цьому представленому вираженні, - це тетраедричних числа. Ця формула виражає квадратні пірамідальні числа у вигляді суми двох чисел, так само як будь-який квадратне число є сумою двох послідовних трикутних чисел. У цій сумі, одне з двох тетраедричних чисел вважає кількість куль в складеної піраміді, які розташовані вище або по одну сторону від діагоналі квадратного підстави піраміди; а друге - розташованих по інший бік діагоналі. Квадратні пірамідальні числа також пов'язані з тетраедричних наступним чином:
Сума двох послідовних квадратних пірамідальних чисел є октаедричних числом (англ.) Рос.
Примітки
- Weisstein, Eric W. Square Pyramidal Number (англ.) На сайті Wolfram MathWorld.
- Abramowitz, M .; Stegun, I. A. (Eds.) Handbook of Mathematical Functions. - National Bureau of Standards, Applied Math. Series 55, 1964. - P. 813. - ISBN 0486612724