Приклад 3. Визначте значення. при якому нулі квадратичної функції мають різні знаки і абсциса вершини параболи позитивна.
Рішення. Розглянемо квадратне рівняння. Це рівняння має два різних кореня, якщо 0 "alt =" LaTeX formula: D> 0 "src =" http://helpy.quali.me/uploads/formulas/b50c6caaeb065732f028067973ea712a5be3cabf.1.1.png ">.
За формулою 5.5 отримаємо:. Тоді 0 "alt =" LaTeX formula: a ^ 2 + 4 (3-2a)> 0 "src =" http://helpy.quali.me/uploads/formulas/e0f506b3dc263d9291d69a41a1e583948d2bae08.1.1.png ">, 0" alt = "LaTeX formula: a ^ 2-8a + 12> 0" src = "http://helpy.quali.me/uploads/formulas/db249d800e455153e057eb43d065ce6321a4a66e.1.1.png">.
За формулою 5.5 отримаємо:.
За формулою 5.6 отримаємо:. .
Рішення нерівності показано на малюнку 5.1:.
Запишемо це рівняння у вигляді за умови, що. Так як згідно з умовою завдання абсциса вершини параболи позитивна, то позитивний корінь рівняння по абсолютній величині перевершує негативний. Тоді сума коренів цього рівняння позитивна, а їх добуток негативно.
По теоремі Вієта
Вирішимо систему нерівностей і.
Розглянемо рішення кожного нерівності системи, враховуючи, що.
1), звідки (рис. 5.2);
3), звідки (рис. 5.3).
Очевидно, що рішенням системи нерівностей є проміжок. Отже, умови задачі виконуються при всіх. що належать цьому проміжку.
Приклад 4. Не вирішуючи рівняння. знайдіть значення виразу. де і - корені даного рівняння.
Рішення. Розглянемо квадратне рівняння. Згідно з теоремою Вієта запишемо:. .
Перетворимо вираз. отримаємо:
.
Підставляючи в отримане вираз значення і, будемо мати:
Приклад 5. Складіть квадратне рівняння з корінням і, де і - корені рівняння.
Рішення. Розглянемо рівняння. По теоремі Вієта запишемо: і.
Нехай дані рівняння має вигляд 5.7. а числа і - його коріння. Тоді і.
Знайдемо коефіцієнти і. враховуючи, що і.
Підставимо значення і в рівняння і отримаємо: або.
Приклад 6. Складіть квадратне рівняння з раціональними коефіцієнтами, один з коренів якого дорівнює.
Рішення. Згідно з умовою задачі. або або . Тоді.
Нехай дані рівняння має вигляд 5.7. Тоді по теоремі Вієта. а. Так як . а. то і.
Запишемо шукане рівняння:.
Перш, ніж знаходити суму і твір коренів квадратного рівняння за теоремою Вієта, необхідно переконатися в тому, що це рівняння має дійсні корені, т. Е. Його дискримінант НЕ негативний.
Наприклад, не можна записати, що сума коренів квадратного рівняння дорівнює. а твір його коренів одно. так як дискримінант цього рівняння негативний, отже, воно зовсім не має дійсних коренів.