Квадратні корені з натуральних чисел до 25 включно. У квадрат зі стороною √ 2 вписане коло.
Приклад для дійсних чисел: +9 = ± 3.> = \ Pm 3,> тому що (± 3) 2 = 9. ^ = 9.> У квадратного кореня існують протилежні. тобто відрізняються знаком значення (в даному прикладі, позитивне і негативне числа), і це ускладнює роботу з корінням. Щоб забезпечити однозначність, вводиться поняття арифметичного кореня. значення якого при a ⩾ 0 завжди неотрицательно (а на позитивних a - позитивно; в прикладі це число 3).
Застосування операції кореня до числам Правити
Квадратний корінь з числа a - це таке число, квадрат якого (результат множення на себе) дорівнює a. тобто рішення рівняння x 2 = a = a> щодо змінної x. [Комм. 1] [комм. 2]
Раціональні числа Правити
При раціональних a рівняння x 2 = a = a> не завжди вирішується в раціональних числах. Більш того, таке рівняння, навіть при позитивному a. вирішується в раціональних числах тоді і тільки тоді коли і чисельник і знаменник числа a. представленого у вигляді нескоротного дробу. є квадратними числами.
Безперервна дріб кореня з раціонального числа завжди є періодичною (можливо з предперіодом) що дозволяє з одного боку легко обчислювати хороші раціональні наближення до них за допомогою лінійних рекуррент, а з іншого боку обмежує точність наближення: | r - p / q |> 1 C q 2> -p / q | >>>>. де C залежить від r [1] [2]. Вірно і те, що будь-яка періодична ланцюгова дріб є квадратичною ірраціональністю.
Дійсні (речові) числа Правити
Теорема. Для будь-якого позитивного числа a існує рівно два речових кореня, які рівні за модулем і протилежні за знаком. [3]
Ненегативний квадратний корінь з невід'ємного числа a називається арифметичним квадратним коренем і позначається з використанням знака радикала a> [4].
Комплексні числа Правити
Над полем комплексних чисел рішень завжди два, що відрізняються тільки знаком (за винятком квадратного кореня з нуля). Корінь з комплексного числа a часто позначають як a>. проте використовувати це позначення потрібно обережно. Поширена помилка:
Помилка виникла через те, що квадратний корінь є багатозначною функцією. Зокрема, існують два квадратних кореня з 1. -1 і +1.
Для вилучення квадратного кореня з комплексного числа зручно використовувати експонентну форму записи комплексного числа: якщо
де корінь з модуля розуміється в сенсі арифметичного значення, а k може приймати значення k = 0 і k = 1. таким чином в результаті у відповіді виходять два різних результату.
Квадратний корінь як елементарна функція Правити