Якщо вибрати в якості інтерполяційний многочлен Лагранжа з рівновіддаленими вузлами інтерполяції, то отримані формули чисельного інтерполювання називають квадратними формулами Ньютона - Котеса.
Отже, маємо формулу чисельного інтегрування
Формула (3) буде формулою закритого типу, якщо кінці відрізка інтегрування є вузлами інтерполяції і відкритого типу, якщо хоча б один з кінців не є вузлом інтерполяції.
Запишемо поліном Лагранжа в короткій формі
не залежить від функції, а тільки від вузлів інтерполяції. Будемо розглядати рівновіддалені вузли з кроком h.
Многочлен Лагранжа для рівновіддалених вузлів має вигляд:
Для коефіцієнтів остаточно отримаємо:
Коефіцієнти (4) і є коефіцієнти Котеса. Їх можна підрахувати при різних т.
Нехай n = 1. маємо 2 вузла інтерполяції і два коефіцієнта Котеса і.
При n = 2 маємо три вузла коефіцієнта Котеса.
3.частние випадки чисельного інтегрування.
1) формула середніх прямокутників.
Підінтегральної функції замінимо інтерполяційним многочленом Лагранжа нульового ступеня
n = 0, маємо один вузол інтерполяції, нехай
за умовою інтерполяції
Формула (5) і є формула середніх прямокутників.
Геометричний сенс полягає в тому, що площа криволінійної трапеції замінюється на площу прямокутника.
Похибка формули трапецій.
При n = 1, - залишковий член формули Лагранжа.
Теорема: якщо функція f (x) має безперервні похідні до другого порядку включно, на відрізку, то похибка
Як і в попередньому випадку, застосовуючи формулу Тейлора і, скориставшись теоремою про середнє значення інтеграла, одержимо:
Якщо для, то отримаємо оцінку похибки методу:
3) формула парабол (Сімпсона).
Підінтегральної функції замінимо інтерполяційним многочленом Лагранжа другого ступеня
, маємо три вузла інтерполяції. виберемо,
Вузли рівновіддалені, крок. Маємо три коефіцієнта Котеса
За формулою Ньютона - Котеса матимемо:
Формула (9) і є формула парабол (Сімпсона).
Геометричний сенс полягає в тому, що графік функції замінюється графіком многочлена Лагранжа другого ступеня (параболою) на відрізку. При обчисленні інтеграла за формулою (9) його чисельне значення дорівнюватиме площі криволінійної трапеції, обмеженої зверху дугою параболи, що проходить через точки
Похибка формули парабол.
Теорема: якщо функція має на відрізку неперервні похідні до четвертого порядку включно, то похибка формули парабол можна обчислити за формулою:
Якщо для, то отримаємо оцінку похибки методу:
Для збільшення точності при обчисленні інтеграла застосовують наступний прийом: відрізок інтегрування розбивають на досить велику кількість мигцем проміжків і до кожного з часткових відрізків застосовують квадратурну формулу Ньютона - Котеса з малим n. Отримують формули простої структури, які називають узагальненими формулами.
5. Узагальнені формули чисельного інтегрування.
1) узагальнена формула середніх прямокутників.
Розділимо відрізок інтегрування на n рівних частин, отримаємо відрізки
Крок інтегрування. На кожному частковому відрізку застосовуємо раніше отриману елементарну формулу середніх прямокутників і результати складаємо, таким чином, будемо мати узагальнену формулу середніх прямокутників.
Якщо за вузол інтерполяції на кожному частковому відрізку брати лівий кінець, то отримаємо, і
- узагальнена формула лівих прямокутників (11a)
Якщо ж за вузли вибирати праві кінці, то і
- узагальнена формула правих прямокутників (11в)
Похибка узагальненої формули середніх прямокутників.
На кожному частковому відрізку допустима похибка обчислюється за формулою (6), маємо n часткових відрізків. Склавши похибки, матимемо:
Якщо подвоїти число точок ділення, то похибка зменшиться в 4 рази.
- верхня межа другої похідної на відрізку.
2) узагальнена формула трапецій.
Відрізок інтегрування розіб'ємо на n рівних частин точками, отримаємо крок інтегрування.
На кожному частковому відрізку застосуємо елементарну формулу трапецій і отримані результати підсумуємо.
Це і є узагальнена формула трапецій.
Похибка узагальненої формули трапецій.
Допустима похибка на кожному частковому відрізку обчислюється за формулою (10), тоді для всього відрізка отримаємо:
Якщо подвоїти число точок ділення, то похибка зменшиться в 4 рази.
3) узагальнена формула парабол.
Точність наближеного інтегрування помітно зростає, якщо підінтегральної функції на кожному частковому відрізок замінити квадратичною функцією. Розбиваємо відрізок інтегрування на n рівних частин, а потім кожен отриманий відрізок ділимо ще навпіл. У загальному випадку отримали парне число 2n відрізків. Застосуємо формулу (9) до кожної пари суміжних відрізків розбиття.
Підсумовуючи рівності, отримаємо узагальнену формулу парабол:
Похибка узагальненої формули парабол.
На кожній парі суміжних відрізків похибка оцінюється за формулою (10), маємо n пар, тоді
На практиці, якщо завдання вирішується з використанням комп'ютера, похибка обчислюється за формулою практичної оцінки похибки, заснованої на подвійному прорахунку.
- значення певного інтеграла, обчислене при розбитті на n (n - парне).
- значення певного інтеграла, обчислене при розбитті на 2n частин.