У разі вимушених коливань система коливається під дією зовнішньої (що змушує) сили, і за рахунок роботи цієї сили періодично компенсуються втрати енергії системи. Частота вимушених коливань (яка змушує частота) залежить від частоти зміни зовнішньої сили Визначимо амплітуду вимушених коливань тіла масою m, вважаючи коливання незатухающими внаслідок постійно діючої сили.
Нехай ця сила змінюється з часом за законом. де амплітуда сили, що вимушує. Повертає сила і сила опору Тоді другий закон Ньютона можна записати в наступному вигляді:
Припустимо, що виникає під дією сили встановилися вимушені коливання системи також є гармонійними: (7.22) причому їх циклічна частота дорівнює циклічної частоті ω змушує сили.
Диференціюючи два рази (7.22) і підставляючи в (7.21), отримаємо
Тоді остання рівність можна записати в наступному вигляді:
Праву частину цього виразу можна розглядати як рівняння деякого гармонійного коливання, отриманого при додаванні трьох гармонійних коливань, обумовлених складовими лівій частині цієї рівності. Для складання цих коливань скористаємося методом векторних діаграм. Проведемо опорну лінію ОХ (рис. 1.9) і відкладемо під кутами, відповідними початковим фазам всіх чотирьох коливань вектори,,, їх амплітуди таким чином, щоб
З рис. 7.9 видно, що Підставляючи останнім значення відповідних амплітуд (1.22), отримаємо:
Амплітуда усталених вимушених коливань прямо пропорційна амплітуді змушує сили F0. обернено пропорційна масі m системи і зменшується зі збільшенням коефіцієнта загасання β. При постійних F0. m і β амплітуда залежить тільки від співвідношення циклічних частот змушує сили β і вільних незгасаючих коливань системи. При циклічної частоті змушує сили ω = 0 амплітуда коливань. У цьому випадку коливання не відбуваються і зміщення при вимушених коливаннях одно статичної деформації під дією постійної сили F0:
Тому відхилення A0 іноді називають статичної амплітудою.
Якщо немає дисипації тобто β = 0, то амплітуда коливань
росте зі збільшенням циклічної частоти ω змушує сили Fвн і при стає нескінченно великою (рис. 7.10). При подальшому зростанні циклічної частоти ω амплітуда А вимушених коливань зменшується, причому
Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні змушує частоти ω до частоти власних коливань системи називається резонансом.
Якщо загасання існує то амплітуда вимушених коливань досягає максимального значення, коли знаменник правої частини для рівняння (7.23) досягає мінімуму. Прирівнюючи нулю першу похідну по ω від подкоренного вираження, отримаємо умову його мінімуму, для якого. де - називають резонансною частотою. позначає те значення циклічної частоти ω змушує сили, при якому.
З останньої формули випливає, що для консервативної системи. а для дисипативної системи дещо менше власної циклічний частоти. Зі збільшенням коефіцієнта загасання ω явище резонансу проявляється все слабше, і, нарешті при зникає зовсім.
Явище резонансу використовується для посилення коливань, наприклад, електромагнітних. Однак при конструюванні різних машин і споруд необхідно враховувати навіть найменшу періодичну силу з тим, щоб запобігти небажаним наслідкам резонансу.
Всі реальні коливальні системи є диссипативними. Енергія механічних коливань такої системи поступово витрачається на роботу проти сил тертя, тому вільні коливання завжди затухають - їх амплітуда поступово зменшується. У багатьох випадках, коли відсутня сухе тертя, в першому наближенні можна вважати, що при невеликих швидкостях руху сили, що викликають загасання механічних коливаннях, пропорційні швидкості. Ці сили, незалежно від їх походження, називають силами опору.
де r - коефіцієнт опору, v - швидкість руху. Запишемо другий закон Ньютона для згасаючих коливань тіла уздовж осі ОХ