Лекція 8. Локальні екстремуми
1. Ознаки монотонності функції.
2. Точки локального і глобального екстремуму функції.
3. Необхідна і достатня умови існування локального екстремуму функції.
4. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.
1. Ознаки монотонності функції.
За допомогою похідної функції можна зробити повне її дослідження (знайти проміжки зростання та спадання, екстремуми, точки перегину, проміжки опуклості і угнутості, асимптоти графіка) і побудувати графік цієї функції.
Теорема 1. Для того щоб дифференцируемая на (a; b) функція не убуває (не збільшується) на цьому інтервалі, необ-
ходимо і досить, щоб
Δ f (x 0) = f (x) - f (x 0) <0 ( ∆ f ( x 0 ) = f ( x ) − f ( x 0 )> 0).
Значення f (x 0) називається локальним максимумом (міні
max () f (x) = f (x 0)
(Min () f (x) = f (x 0)).
Точки максимуму або мінімуму функції називаються точками екстремуму функції. а максимуми і мінімуми функції називаються екстремумами функції.
Екстремуми функції носять локальний характер - це найбільше або найменше значення функції в порівнянні з прилеглими її значеннями. Якщо функція f (x) на [a; b] име-
ет кілька максимумів і мінімумів, то можливий випадок, коли максимум функції менше її мінімуму.
Найменше та найбільше значення функції на [a; b] називаються
вають абсолютними мінімумом і максимумом або глобальними екстремумами функції f (x)
Позначається. min f (x). max f (x).
x [a; b] x [a; b]
3. Необхідна і достатня умови існування локального екстремуму функції.
Теорема 2. Якщо в точці x 0 функція f (x) досягає екс-
тремума, то її похідна в цій точці дорівнює нулю або не існує.
► Нехай f (x) в точці x 0 досягає максимуму. тоді суще-
ни нулю, то існує похідна f '(x 0) і f' (x 0) = f - '(x 0) = f +' (x 0) = 0.
У разі, якщо f - '(x 0) і f +' (x 0). відмінні від нуля, то похідна f '(x 0) не існує.
Аналогічно доводиться випадок, коли x 0 точка мінімума.◄
Геометричний сенс теореми. в точках екстремуму функції f (x) дотична до її графіку
1) паралельна осі абсцис, якщо існує f '(x 0) = 0 (ріс.2.а);
2) паралельна осі ординат, якщо f '(x 0) нескінченна (ріс.2.б);
3) існують не збігаються ліва і права дотичні, якщо f - '(x 0) ≠ f +' (x 0) (ріс.2.в).
Визначення 2. Точки, в яких похідна функ-
ції y = f (x) звертається в нуль або не існує, називають
критичними або точками можливого екстремуму. точки,
в яких похідна функції y = f (x) звертається в нуль,
2) якщо n - парне і f (n) (x 0)> 0. то x 0 - точка локального мінімуму;
3) якщо n - непарне, то x 0 не є точкою локального
4. Найбільше і найменше значення функції на відрізку.
Однією з основних характеристик функції f (x) на відрізку
[A; b] є її глобальні екстремуми, тобто найбільше і найменше значення f (x) на [a; b].
Якщо функція f (x) неперервна на [a; b]. то найбільше і найменше значення вона приймає на кінцях цього відрізка
або в точках її локального екстремуму. Отже, для