7.7. Вісь. Векторна і скалярна проекції вектора на вісь. Знайти проекцію вектора n = (2, 1, 3) на вісь Х.
8. Векторний добуток двох векторів і його властивості. Обчислити. якщо.
Векторний добуток двох векторів а і b - це операція над ними, певна лише в тривимірному просторі, результатом якої є вектор з наступними властивостями:
10. Критерій блокування двох площин Ax + By + Cz + D = 0, ax + by + cz + d = 0
Критерій блокування двох площин
Доведення. Нехай умови (3) виконані. Тоді рівняння другий площині може бути записано так: # 955; A1x + # 955; B1y + # 955; C1z + # 955; D1 = 0.
# 955; ≠ 0, інакше було б A2 = B2 = C2 = D2 = 0, що суперечить умові n2 ≠ 0. Следова-кові, останнє рівняння еквівалентно рівнянню (1), а це означає, що дві плоско-сті збігаються.
Нехай тепер, навпаки, відомо, що дані площини збігаються. Тоді їх нор-формальні вектори колінеарні, т. Е. Існує таке число # 955; таке, що
Віднімаючи з верхнього нижнє, отримаємо D2 - # 955; D1 = 0, т. Е. D2 = # 955; D1. QED.
1.11. Лінійні операції над векторами. Зобразити в декартовій системі координат лінійну комбінацію векторів 2j + k, які відкладені початку координат.
12. Визначення лінійно залежною і лінійно незалежної систем векторів. Що можна сказати про систему векторів m = (0, 3, 5), n = (0, 2, 7), p = (0,1,1)?
Лінійно залежні і лінійно незалежні системи векторів
Нехай X - лінійний простір.
Визначення. Система векторів x1, x2, .... xn Про X називається лінійно залежною, якщо існують числа # 945; 1, # 945; 2, .... # 945; n Про R. не всі рівні нулю (тобто # 945; 12 + # 945; 22 + ... + # 945; n2 ≠ 0), такі, що
Якщо це рівність виконується тільки при # 945; 1 = # 945; 2 = ... = # 945; n = 0. то система векторів називається лінійно незалежною.
Замість "лінійно залежна (або незалежна) система векторів" можна говорити просто "лінійно залежні (або незалежні) вектори".
Теорема Щоб вектори x1, x2, .... xn Про X були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб хоча б один з них був лінійною комбінацією інших.
13. Максимальна лінійно незалежна система векторів простору. Базис векторного простору. Координати вектора. Довести їх єдиність.
Визначення. Система векторів називається максимальною лінійно незалежною системою, якщо вона лінійно незалежна і її не можна включити в більшу лінійно незалежну систему в якості підсистеми.
Існування максимальних лінійно незалежних систем. Візьмемо будь-який вектор Будемо додавати до нього вектори так, щоб всі вектори були лінійно незалежні. Прийдемо до максимальної системі за кінцеве число кроків.
БАЗИС векторні простори [basis of vector space] - набір з максимального (для даного простору) числа лінійно незалежних векторів (див. Лінійна залежність векторів). Отже, всі інші вектори простору виявляються лінійними комбінаціями базисних. Якщо все базисні вектори взаємно ортогональні, а довжина кожного з них дорівнює одиниці, то базис називається ортонормованим. Одиничний базисний вектор називають ортом (позначається ei, де i - номер координати).
Кожен вектор простору може бути представлений у вигляді лінійної комбінації базисних векторів: a = Σaiei. Коефіцієнти розкладання ai однозначно визначають вектор a. Тому часто говорять, що n-мірний вектор - це впорядкована сукупність n чисел. (Див. Вектор.) Розмірність векторного простору дорівнює кількості векторів, що складають його базис.
координати вектора # 8213; коефіцієнти єдино можливою лінійної комбінації базисних векторів в обраній системі координат, яка дорівнює даному вектору.
де - координати вектора.
Теорема про єдиності розкладання вектора
По двох неколінеарна векторах